2. Элементы финансовой математики

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 

А. Простой и сложный процент

Пусть некто внес в банк сегодня 100 руб. под 50% годовых. Очевидно, что через год1 на счете будет сумма вклада плюс процент на нее. Последний исчисляется умножением процентной ставки на величину вклада (100*0,5). Итого получаем:

100+0,5*100=100(1+0,5)=150

Решим задачу в общем виде, обозначив начальную сумму вклада - K0, процентную ставку - i и сумму через год - K1. Тогда имеем:

K1=K0+iK0=K0(1+i)

Если начиная со второго года банк начисляет процент только на первоначально вложенную сумму, то такой процент называется простым. В этом случае, вложив 100 руб. под 50% годовых, мы через два года получаем на счете 200 руб. Расчет таков:

100+0,5*100+0,5*100=100(1+2*0,5)=200

Обозначив сумму, которая будет на счете через два года – K2, получаем в общем виде:

K2=K0+iK0+iK0=K0(1+2i). Следовательно, через n лет имеем на счете:

Kn=K0(1+ni)

Если, начиная со второго года, банк начисляет процент на всю накопленную ранее сумму, то такой процент называется сложным. Вернемся к нашему условному примеру с вложением 100 руб. под 50% годовых. Как уже было установлено, мы имеем на счете через год: K1=100(1+0,5)=150. В следующем году процент начисляется уже на 150 руб. Следовательно, через два года на счете будет:

K2=150(1+0,5)=100(1+0,5)(1+0,5)=100(1+0,5)2=225

В общем виде получаем: K2=K0(1+i)2. Таким образом, через n лет сумма на счете (Kn) будет:

Kn=K0(1+i)n

Усложним модель. До этого предполагалось, что деньги вносятся на счет один единственный раз. Теперь допустим, что некто ежегодно вносит в банк одну и ту же сумму (K руб.) под i% годовых (начисляется сложный процент).

В качестве примера предположим, что Вы решили копить деньги к отпуску, для чего первого числа каждого месяца вкладываете в банк K руб. Банк платит по вкладам i% в месяц. Первый взнос сделан 1 сентября, второй – 1 октября и т.д. вплоть до 1 июля, когда Вы больше ничего не вкладываете, а снимаете деньги со счета и уезжаете отдыхать. Итак, подсчитаем:

Первого сентября на счет положено K руб.:

Дата

Сумма на счете

1 сентября

K

Первого октября эта сумма превратится в K(1+i), но Вы докладываете еще K руб., и всего на счете оказывается K(1+i)+K руб.:

Дата

Сумма на счете

1 сентября

K

1 октября

K(1+i)+K

К первому ноября сентябрьские деньги пролежали на счете два месяца, превратившись в K(1+i)2, октябрьские K руб., будучи на счете один месяц, превратились в K(1+i), кроме того K руб. вносятся дополнительно. Всего, таким образом, Вы имеете на счете K(1+i)2+K(1+i)+K руб.:

Дата

Сумма на счете

1 сентября

K

1 октября

K(1+i)+K

1 ноября

K(1+i)2+K(1+i)+K

Декабрь, январь и т.д. пропустим. Наступает 1 июля. К этому времени сентябрьские деньги пробыли на счете 10 месяцев и превратились в K(1+i)10, соответственно деньги, внесенные 1 октября, стали K(1+i)9. И т.д. Последний раз K руб. были вложены 1 июня, т.е. превратились в K(1+i) руб. Поэтому Вы закрываете счет, имея K(1+i)10+K(1+i)9+…+K(1+i) руб.:

Дата

Сумма на счете

1 сентября

K

1 октября

K(1+i)+K

1 ноября

K(1+i)2+K(1+i)+K

1 июля

K(1+i)10+ K(1+i)9+…+K(1+i)

Рассмотренный пример – частный случай. Если же подобная операция продолжается n лет (временных периодов), то в конце срока сумма на счете (Kn) будет:

Kn=K(1+i)+K(1+i)2+...+K(1+i)n

Перед нами геометрическая прогрессия, сумма членов которой (Sn) исчисляется по формуле:

где b - первый член прогрессии [в нашем примере: K(1+i)], q - знаменатель (общий множитель) прогрессии (у нас: 1+i), а n - число членов прогрессии.

Следовательно, в нашем случае:

Все приведенные расчеты называются нахождением будущей стоимости (FV). Следовательно: Kn=FVn.

Б. Дисконтирование

Дисконтированием называется исчисление первоначальной суммы денег на основании ее конечной величины. Таким образом, дисконтирование – обратная операция по отношению к нахождению будущей стоимости.

Например, если кто-то хочет иметь на своем счете 150 руб. через год при процентной ставке 50% годовых, то сегодня ему надо вложить в банк 100 руб. Расчет прост:

В общем случае вопрос звучит так: какую сумму денег (K0) надо положить сегодня на счет, чтобы через год там было K1 руб., если процентная ставка составляет i% годовых? Ответ:

Поставим вопрос в самом общем виде: какую сумму денег надо положить сегодня в банк, чтобы через n лет на счете было Kn руб.? Теперь ответ будет зависеть от того, какой процент начисляет банк: простой или сложный.

Если процент простой, то:

Если процент сложный, то:

Путем дисконтирования можно определить, какой сумме денег сегодня эквивалентна некоторая сумма, которая будет получена в будущем (FV). Тем самым мы можем рассчитать приведенную стоимость будущих денежных поступлений (PV).

Важнейший постулат финансового анализа состоит в том, что деньги имеют различную временную ценность: 100 руб. сегодня предпочтительнее 100 руб., которые будут получены позднее. Это объясняется тем, что сегодняшние деньги индивид уже может как-то использовать, повышая свое благосостояние. Самая простая возможность – положить деньги в банк, и тогда их сумма возрастет.

Пусть банк платит по вкладу 20% годовых. Следовательно, 100 руб. сегодня превратятся в 120 руб. спустя год. Если такие условия устраивают индивида, и он вкладывает деньги, то это означает, что он готов отказаться от 100 руб. сегодня ради 120 руб. через год. Иными словами, 120 руб., получаемых год спустя, для него как минимум равны 100 руб. сегодня. В этом случае результат получается дисконтированием 120 руб. по процентной ставке:

В общем виде, обозначив сумму, получаемую через год – FV1, получаем ее приведенную стоимость:

Таким образом, при начислении сложных процентов приведенная стоимость денег, которые будут получены через n лет (FVn), рассчитывается по формуле:

Усложним модель. Предположим, Вы решили сдать квартиру на 5 лет. По договору в конце каждого года арендатор будет платить Вам 3000 долл. Сколько денег Вы получите за все время аренды? Ответ: 15000 долл. по сути не верен, ибо нельзя забывать, что деньги, получение которых растянуто во времени, имеют не одинаковую ценность. В частности, 3000 долл., причитающиеся Вам через год, совсем не равны той же сумме, получаемой через 5 лет. Поэтому просто суммировать или вычитать можно только те деньги, которые пришли или ушли примерно в одно и то же время.

В Вашем случае все будущие доходы надо сначала привести к сегодняшнему дню путем дисконтирования по банковской процентной ставке и только потом их суммировать. В результате будет получена приведенная стоимость всей величины будущих доходов:

Таким образом, если некто будет ежегодно получать некоторые суммы денег (FVj) руб. в течение n лет, приведенная стоимость всей суммы будущих поступлений составит:

Если доход, получаемый каждый год постоянен (FV), имеем геометрическую прогрессию со знаменателем 1/(1+i):

Отсюда:

Если число лет бесконечно велико (n®¥), формула упрощается:

На основе дисконтирования можно решать задачи на погашение займов. Пусть некто взял заем под сложные i% годовых. Выплата в j-ый год составляет FVj. Продисконтировав эту выплату по процентной ставке, находим ее приведенную стоимость:

В момент, когда сумма всех дисконтированных выплат становится равна первоначальному долгу, последний считается погашенным.

В качестве примера предположим, что взаймы взяты 100 руб. на 2 года под 100% (i=1) годовых. В первый год заемщик выплатил кредитору 100 руб. В результате погашены только 50 руб. займа, поскольку:

Во второй год выплачено еще 200 руб. Продисконтировав эту сумму, находим:

Таким образом, сумма дисконтированных выплат за два года составила величину займа – 100 руб. (50+50=100). Долг погашен.