3.1. Общая характеристика производственной деятельности фирмы

Основные типы задач с решением:

Задача 1

Обоснуйте, почему в качестве объекта экономического анализа выбрана область производства с убывающей отдачей факторов производства.

Ответ:

Рассмотрим стадии производства, выбрав в качестве исходного фактора труд. Пусть выпуск фирмы зависит только от изменения объема используемого труда. Объем используемого капитала предположим в качестве неизменной величины. Тогда стадии производства и соотношение совокупного, среднего и предельного продуктов труда можно представить следующим образом:

            где TPL - совокупный продукт труда;

            APL - средний продукт труда;

            MPL - предельный продукт труда;

            L - объем используемого труда.

Первая стадия производства соответствует возрастающему среднему продукту. При этом предельный продукт вначале возрастает, а потом начинает убывать. Вторая стадия производства соответствует убывающему среднему продукту, но при этом предельный продукт остается положительным (хотя продолжает убывать). Третья стадия производства соответствует отрицательному предельному продукту. Следует отметить также, что переход от первой ко второй стадии производства происходит в точке максимума среднего продукта, там, где средний продукт равен предельному; переход от второй к третьей стадии производства наблюдается в точке максимума совокупного продукта - точке равенства нулю предельного продукта. Предельный продукт начинает убывать там, где меняется изгиб производственной функции - из вогнутой она становится выпуклой.

Рассмотрим теперь, каким образом изменяется производительность второго фактора - капитала - на разных стадия производства.

Полное приращение производственной функции (полный дифференциал) равно:

Q = L*MPL + K*MPK

Для функции с постоянной отдачей от масштаба (нейтральным эффектом масштаба) прирост объемов ресурсов вызывает такой же прирост выпуска:

L/L = K/K = Q/Q = t

Тогда

L = tL; K = tK; Q = tQ

Подставим полученные значения в полное приращение производственной функции и сократим на t:

Q = L*MPL + K*MPK

Разделим это выражение на L:

Q/L = MPL + K/L * MPK

Так как

Q/L = APL,

то

APL = MPL + K/L * MPK

Откуда получаем выражение для предельной производительности капитала:

MPK = (APL - MPL) *L/K

Проанализируем теперь, каким образом изменяется предельный продукт капитала на разных стадиях производства.

На первой стадии производства предельный продукт труда превышает средний продукт труда, поэтому (так как отношение труда к капиталу всегда положительно при ненулевом выпуске) предельный продукт капитала отрицателен. На второй и третьей стадиях производства средний продукт труда превышает предельный продукт труда, поэтому предельный продукт капитала положителен.

Таким образом, мы получаем для стадий производства:

I стадия: MPL>0; MPK<0

II стадия: MPL>0; MPK>0

III стадия: MPL<0; MPK>0

Из аксиом производственной функции традиционного вида (функции типа Кобба-Дугласа) мы знаем, что построение карты изоквант требует возрастания совокупного продукта при увеличении объемов используемых факторов производства, то есть положительных значений предельных продуктов ресурсов. Поэтому первая и третья стадии производства (там где предельный продукт либо капитала, либо труда отрицателен) не могут рассматриваться в качестве допустимой области исследования поведения фирмы. Итак, допустимой областью экономического анализа производства будет только вторая стадия (заштрихованная область на рисунке).

 

Задача 2

Что такое “отдача от масштаба”? Какой тип отдачи от масштаба обеспечивает производственная функция типа Кобба-Дугласа?

Ответ:

Отдача от масштаба описывает, что происходит при увеличении количества всех факторов производства.

 — постоянная отдача от масштаба

 — возрастающая отдача от масштаба

 — убывающая отдача от масштаба

Пусть производственная функция задана формулой q=Ka×Lb, поскольку

, то

если а+b=1, мы имеем  постоянную  отдачу от масштаба,

если a+b>1, наблюдается возрастающая отдача от масштаба,

если a+b<1 — убывающая отдача от масштаба.

 

Задача 3

Дайте определение понятия “эффект масштаба” для случая производства одного продукта. Определите зависимость долгосрочных общих и средних затрат от выпуска для производственной функции вида Кобба-Дугласа и сделайте вывод о связи между понятиями «отдача от масштаба» (свойство производственной функции) и «эффект масштаба» (зависимостью долгосрочных средних затрат от выпуска).

 Ответ:

Эффектом масштаба называется экономия, обусловленная ростом масштаба производства, при котором увеличение объема производства вызывает снижение долгосрочных средних издержек на единицу продукции.

Определим какова зависимость долгосрочных средних издержек от объема выпуска для производственной функции Кобба-Дугласа. Пусть дана двухфакторная производственная функция Кобба-Дугласа

Найдем функции условного спроса на факторы производства как решение задачи оптимального выбора производителя (минимизации издержек при заданном уровне выпуска). Используем метод Лагранжа:

Выпишем условия первого порядка для функции Лагранжа:

;

;

.

Используя первые два уравнения:

Отсюда, через ряд преобразований, получим решения системы:

Подставив функции условного спроса на факторы производства в выражение для затрат: , получим функцию общих издержек, которая зависит от объема выпуска, цен на факторы производства и параметров производственной функции:

В свою очередь функция средних издержек:

.

Эффект масштаба определяется знаком первой производной функции средних издержек:

,

Поскольку выпуск не может быть отрицательным, а цены на факторы производства, также как параметры a и b строго положительны, нетрудно заметить, что знак производной определяет знак выражения

[1–(a+b)].

Мы можем заключить, что положительный эффект масштаба (средние издержки убывают) наблюдается, если a+b>1, если a+b=1 мы имеем постоянный эффект масштаба (средние издержки постоянны), наконец, если a+b<1 наблюдается отрицательный эффект масштаба (средние издержки возрастают). Но этот критерий, как известно (см. задача 1) определяет тип отдачи от масштаба для функции полезности Кобба-Дугласа. Таким образом, мы показали, что понятия «эффект масштаба» и «отдача от масштаба» взаимосвязаны и возникают «одновременно». В основе их лежит единый экономический механизм, поскольку именно свойства производственной функции определяют столь важное на практике поведение кривой средних издержек.

Вернемся к нашим примерам:

Для функции , a+b=2, следовательно данная функция имеет возрастающую отдачу от масштаба и возрастающий эффект масштаба.

Для функции , a+b=1, следовательно данная функция имеет постоянную отдачу от масштаба и постоянный эффект масштаба.

Для функции , a+b=1/2, следовательно данная функция имеет убывающую отдачу от масштаба и убывающий эффект масштаба.

 

Задача 4

Найти эффект масштаба для производственной функции Q=ln(K+L)

Ответ:

Рассмотрим, каким образом реагирует производство на увеличение в t раз объемов используемых факторов производства:

Q(tK, tL) = ln(tK+tL) = lnt+ln(K+L) = lnt + Q

Увеличение объема производства в t раз дает:

tQ = tln(K+L) = ln(K+L)t

Сравним полученные величины объемов производства.

Так как

(K+L)t > t(K+L),

то

lnt + Q < ln(K+L)t ,

то есть

Q(tK, tK) < tQ

Следовательно, мы имеем отрицательный эффект масштаба. Увеличение объемов используемых факторов производства в t раз, ведет к увеличению совокупного выпуска в менее, чем t раз.

 

Задача 5

К каким типам производств относятся следующие виды деятельности:

            а). такси

            б). судостроительная фирма

            в). рытье канав

            г). научная работа

            д). производство турбин

            е). работа секретаря-референта (эту работу могут выполнять как женщины, так и мужчины)

            ж). завод минимально эффективного выпуска

            з). вагоностроительный завод

            и). трубопровод, подверженный ржавчине

            к). киоск по продаже газет.

Укажите в каждом случае предельную норму технологического замещения.

Ответ:

Каждое из представленных видов производств характеризуется определенным качеством факторов производства. Поэтому их можно изобразить в виде различных изоквант.

а). и в). Взаимодополняемые факторы производства: капитал - автомобиль (лопата) и труд - шофер (рабочий), могут использоваться только в определенной комбинации (1; 1)

Предельная норма технологического замещения равна нулю

MRTS = 0,

так как мы не можем заменить один фактор другим.

б) и д) Здесь представлены квазилинейные факторы производства. В данных случаях производство требует использования большого объема капитала (производственные мощности) по сравнению с относительно незначительным объемом труда. Объем капитала меняется линейно, а изменение объема труда происходит нелинейно.

Предельная норма технологического замещения зависит только от объема используемого труда (нелинейного фактора)

MRTS = V’(L)

г) и е) Взаимозаменяемые факторы производства. В случае научной работы компьютер и человек могут до определенной степени заменять друг друга (несовершенные субституты). В случае секретарской работы мужчина и женщина служат совершенными факторами-субститутами.

Предельная норма технологического замещения постоянна

MRTS = k

ж) Завод минимально эффективного выпуска можно представить в виде изоквант со своеобразной “точкой насыщения” - объемов капитала и труда, минимально необходимых для организации эффективного производства.

Предельная норма технологического замещения для объемов факторов, недостаточных для минимально эффективного выпуска, будет убывать, для объемов факторов, превышающих минимально эффективный выпуск, будет возрастать.

з). Изокванты нормального (традиционного) вида - типа функции Кобба-Дугласа.

Предельная норма технологического замещения обладает всеми характеристиками традиционной MRTS.

и). Фактор производства - ржавчина (или точнее, капитал, подверженный ржавчине)- является негативным фактором производства (“антиблагом” производства). Поэтому изокванты будут иметь положительный наклон.

Предельная норма технологического замещения будет отрицательной, так как увеличение негативного фактора производства требует еще большего увеличения позитивного ресурса (для компенсации), чтобы выпуск остался неизменным.

к). Здесь постоянный фактор производства - сам киоск - является нейтральным ресурсом. Выпуск (продажа газет) возрастает только при увеличении объема труда (людей, продающих газеты). В данном случае труд представляет собой предпочитаемый фактор производства.

Предельная норма технологического замещения предпочитаемого ресурса нейтральным равна нулю, нейтрального ресурса предпочитаемым бесконечности.

 

Задача 6

В каком из двух случаев производство, использующее труд только мужчин или только женщин будет менее (более) эффективным, чем производство, использующее труд как мужчин, так и женщин: а).мужчины и женщины являются полностью взаимозаменяемым ресурсом и обладают одинаковой производительностью в данной области; б).мужчины и женщины обладают специфическими навыками в данной области. Обоснуйте свое решение. Постройте изокванты для каждого случая.

Ответ:

В первом случае мы имеем изокванты для взаимозаменяемых факторов производства; во втором случае факторы производства представляют собой взаимодополняемые ресурсы. Гомогенное производство будет более эффективным в первом случае, чем во втором, поскольку в первом случае легче заменить один фактор производства другим, второй случай требует одновременного использования специфических навыков как мужчин, так и женщин, поэтому однородность ресурсов дает меньшую отдачу.

 

Задача 7

Возможна ли ситуация сокращения предельного продукта фактора производства при положительной отдаче от масштаба?

Ответ:

Найдем прирост выпуска при изменении объемов используемых факторов производства:

Q = MPK*K + MPL*L

Так как объемы факторов увеличиваются в одинаковой степени, можно записать прирост фактора через X. Тогда имеем:

Q = (MPK + MPL)X

Вид отдачи от масштаба определяет выражение

MPK + MPL

сумма предельных продуктов двух факторов.

Отсюда мы видим, что для того чтобы наблюдалась положительная отдача от масштаба, необходимо, чтобы по крайней мере один из факторов демонстрировал возрастание предельного продукта. В противном случае сумма предельных продуктов ресурсов будет меньше единицы, что характеризует отрицательный эффект масштаба.

 

Задача 8

Доказать, что предельная норма технологической замены капитала трудом уменьшается по мере роста использования труда в производстве при одном и том же выпуске.

Ответ:

По определению предельная норма технологической замены равна:

MRTS KL = - K/L

Вдоль изокванты (линии постоянного выпуска) полный дифференциал производственной функции (полное приращение) равен нулю:

Q = K*dQ/dK + L*dQ/dL = 0,

 поскольку изменение выпуска не происходит.

Отсюда получаем новое выражение для предельной нормы технологической замены:

 - K/L = [dQ/dL] / [dQ/dK],

где dQ/dL = MPL - предельный продукт труда;

 dQ/dK = MPK - предельный продукт капитала.

Тогда

MRTS KL = MPL/MPK

По мере роста использования труда в производстве при данном выпуске предельный продукт труда сокращается (в соответствии с законом убывающей отдачи фактора производства), а по мере одновременного сокращения использования капитала предельный продукт капитала увеличивается. То есть числитель формулы предельной нормы технологической замены сокращается, а знаменатель растет. Поэтому предельная норма технологической замены сокращается по мере роста использования труда в производстве при одном и том же выпуске.

Вопросы для повторения:

Что такое производственная функция и каковы ее основные характеристики?

Какова роль аксиом в теории производства?

Какими характеристиками обладают изокванты для разных видов производственной функции (Кобба-Дугласа, Леонтьева, СЕS, со взаимозаменяемыми факторами производства)?

Что такое стадии производства? Какую роль в экономическом анализе играет вторая стадия производства?

Каким образом соотносятся функции общего, среднего и предельного продуктов фактора производства?

Одно ли и то же: убывающая отдача от масштаба и убывающий предельный продукт фактора производства?

Какую роль эффект масштаба играет в определении формы и направления траектории долгосрочного роста фирмы?

Каким образом стоится и какую роль в анализе производства играет ломаная производственная функция?

Задачи и упражнения для самостоятельной работы:

1. Фирма платит 50 руб. в день работникам и 200 руб. за аренду оборудования. Фирма нанимает такое количество труда и капитала, что предельный продукт капитал равен 4, а предельный продукт труда равен 8. Фирма выпускает 500 единиц товара в день. Использует ли фирма оптимальное сочетание факторов производства? Если нет, что ей надо сделать, чтобы улучшить свое положение? (Если возможно, укажите необходимые количественные изменения).  Почему на последний вопрос у вас может быть несколько вариантов ответа?

2. Фирма, производящая конфеты, выбирает одну из трех производственных технологий, каждая из которых отличается различным сочетанием используемых ресурсов (труда и капитала).

 

Объем производства                                    Технологии
                                               А                     Б                     В
                                               L          K         L          K         L          K
            1                                 9          2          6          4          4          6
            2                                 19        3          10        8          8          10
            3                                 29        4          14        12        12        14
            4                                 41        5          18        16        16        19
            5                                 59        6          24        22        20        25
            6                                 85        7          33        29        24        32
            7                                 120      8          45        38        29        40
Цена единицы труда равна 200, цена единицы капитала - 400.
1).Какую производственную технологию выберет фирма.
2).Найдите общие издержки фирмы.

3).Цена единицы труда увеличилась до 300. Найдите новое распределение ресурсов фирмы между технологиями.

 

3. Для фирмы известны данные об общих издержках.

 

1). Определите величину долгосрочных средних и предельных издержек.
2). Какой объем производства является оптимальным для фирмы в долгосрочном периоде?

3). Какой эффект масштаба характерен для данного производства?

4. При каких значениях параметров a и b производственной функции Кобба-Дугласа вида Q = XaYb предельная норма технологического замещения равна единице? Больше единицы? Меньше единицы?

5. Компания «Все люди – братья» известна своими эффективными способами производства. Новый директор компании провел реорганизацию, в результате которой предельная норма технологической замены капитала трудом снизилась на 5%, хотя выпуск фирмы не изменился. Означает ли это, что капиталовооруженность труда и/или капиталоемкость продукции компании выросла? Снизилась? Осталась без изменения? Обоснуйте свой ответ расчетами. Можно ли на основе имеющейся информации сделать вывод о динамике производительности труда на фирме после реорганизации?

6. Нарисуйте карту изоквант и определите следующие параметры производства:

предельные и средние продукты каждого фактора;

предельную норму технологического замещения капитала трудом;

вид эффекта масштаба;

значения эластичностей замещения ресурсов и выпуска по ресурсам

для производственных функций:

Q = K1/2L1/2

Q = min{5K; 2L}

Q = K + 1/2L

Q = K1/2 + L

7. Технология производства компьютеров характеризуется функцией Кобба-Дугласа. Известно, что предельный продукт капитала всегда в два раза ниже среднего продукта капитала, а средний продукт труда всегда в полтора раза превышает предельный продукт труда. Используя 8 часов труда и 8 единиц капитала можно произвести 32 компьютера в день. На сколько увеличится выпуск компьютеров, если объемы используемых ресурсов увеличить в 8 раз?

8. Могут ли параметры производственной функции Кобба-Дугласа быть отрицательными? Больше единицы? Каков мог бы быть экономический смысл подобных функций производства?