3.2. Равновесие фирмы.

Основные типы задач с решением:

Задача 1

Совокупные издержки фирмы, действующей на конкурентном рынке, равны:

ТС = 15q2 + 10q - 60.

Найти:

1). Все виды издержек;

2). Какое количество товара (q) в долгосрочном периоде будет производить фирма, максимизирующая прибыль;

3). Написать функцию предложения фирмы.

Ответ:

1). Фирма характеризуется следующими видами издержек.

Средние издержки АС = ТС/q = 15q+10+60/q

Предельные издержки MC = dTC/dq = 30q+10

Постоянные издержки - та часть совокупных издержек, которая не зависит от объема производства: FC = 60

Переменные издержки: VC = 15q2 + 10q

Cредние переменные издержки: AVC = VC/q = 15q+10

Средние постоянные издержки: AFC = FC/q = 60/q

2). Долгосрочное равновесие фирмы характеризуется таким условием:

средние издержки равны предельным издержкам

AC = MC

Откуда получаем

30q+10 = 15q+10+60/q

15q-60/q = 0

15q2-60 = 0

q2 = 60/15 = 4

q*=2

В долгосрочном периоде фирма будет производить 2 тыс. единиц товара.

3). Функция предложения фирмы выражается как равенство рыночной цены товара предельным издержкам фирмы:

P=MC= 30q+10

Данная зависимость показывает, какое количество товара (q) фирма готова поставить на рынок при разных значениях рыночной цены Р.

 

Задача 2

Фирма платит 50 тыс. руб. в день работникам и 200 тыс. руб. за аренду оборудования. Фирма нанимает такое количество труда и капитала, что предельный продукт капитал равен 4 тыс. шт., а предельный продукт труда равен 8 тыс. шт. Фирма выпускает 500 тыс. шт. товара в день. Использует ли фирма оптимальное сочетание факторов производства? Если нет, что ей надо сделать, чтобы улучшить свое положение?

Ответ:

Оптимальное соотношение факторов производства определяется эквимаржинальным принципом в производстве: дополнительная денежная единица, затраченная на любой фактор производства, приносит одинаковую предельную отдачу.

То есть отношения предельных продуктов факторов производства к ценам ресурсов должны быть постоянны для всех используемых ресурсов:

MPK/PK = MPL/PL

Эта величина еще носит название “предельной производительности денег”.

Проверим, выполняется ли это соотношение для данного случая.

MPK/PK = 4/200 = 1/50 < 8/50 = MPL/PL

Так как эквимаржинальный принцип не выполняется, то это означает, что фирма не использует оптимальное соотношение факторов производства. Чтобы достичь оптимального соотношения ресурсов, фирма должна увеличить объем используемого труда и сократить объем используемого капитала. В таком случае с ростом объема используемого труда предельный продукт труда сократится (в соответствии с законом убывающей предельной производительности); а с сокращением объема используемого капитала предельный продукт капитала увеличится. Данную политику следует продолжать до тех пор, пока равенство отношений предельных продуктов к ценам ресурсов не будет восстановлено.

Следует отметить особо, что количественное значение выпуска не играет никакой роли для определения оптимального соотношения факторов производства.

 

Задача 3

Издержки фермера по производству y центнеров пшеницы равны

ТС(у) = у2/20 + у.

Цена центнера пшеницы на рынке свободной конкуренции равна 5 руб. Какое количество пшеницы получит фермер для максимизации прибыли? Написать функцию предложения пшеницы. Правительство приняло программу помощи фермерам. Если фермер производит у центнеров пшеницы, он получает дополнительно (40-у)/2 центнеров пшеницы из государственных запасов. Напишите функцию прибыли фермера как зависимость прибыли от выпуска и рыночной цены пшеницы с учетом государственной программы помощи. г).Если рыночная цена пшеницы равна р, какое количество пшеницы вырастит фермер для максимизации прибыли? (с учетом гос. программы).

Ответ:

Функция прибыли фермера есть разница между его совокупной выручкой и его совокупными издержками:

П = уР - ТС = 5у-у2/20-у - у = 4у-у2/20

Условие первого порядка для максимизации прибыли составляет:

П' = 0

Откуда получаем значение объема производства, максимизирующего прибыль:

у=40

В условиях свободной конкуренции на рынке пшеницы фермер будет производить такое количество товара, чтобы рыночная цена была равна его предельным издержкам:

Р=МС

МС = ТС' = у/10+1 = Р

- функция предложения пшеницы.

С учетом государственной помощи функция прибыли фермера равна:

П = Ру + Р(40-у)/2 - у2/20 - у = 3/2у+100-у2/20

Откуда при П'=0 получаем объем производства:

у=15

Мы видим, что государственная политика привела к сокращению выпуска фермера в 2.7 раза.

 

Задача 4

Фермер обнаружил, что если он не применяет удобрения, он может получить 30 центнеров урожая с гектара. Когда же он применяет N кг удобрений на 1 га, предельный продукт удобрения равен МРN = 1-N/200. Цена зерна равна 6 долл. за 1 ц. Цена удобрения 3 долл. Какое количество удобрений фермер будет использовать для максимизации прибыли? Написать функцию зависимости урожая от количества удобрений. Сосед фермера обладает землей, которая приносит урожая в два раза больше, чем у данного фермера. Какое количество удобрений будет использовать второй фермер? (При прочих равных условиях).

Ответ:

Предельный продукт удобрений равен:

MPN = 1- N/200

Соответственно, совокупный продукт удобрений будет равен интегралу от предельного продукта:

TPN = MPNdN = N-N2/400

Совокупный продукт фермера составляют продукты, получаемые без удобрения и с использованием удобрения:

Q = TPN + TP0 = N-N2/400+30

Совокупные издержки фермера равны:

TC = 3N

Функция прибыли фермера составляет:

П = PQ-TC = 6N-6N2/400+6*30 - 3N

Откуда, учитывая условие первого порядка для максимизации прибыли: П' = 0, получаем равновесный объем удобрений:

N=100.

Соответственно, если производительность у второго фермера в два раза выше, он будет использовать в два раза меньше удобрений: N* = 50.

 

Задача 5

Вывести функцию спроса на труд (капитал) для производственной функции Q=KaLb.

Ответ:

Функция спроса на фактор производства выводится из условия максимизации прибыли фирмы. Прибыль фирмы составляет:

П = PQ - TC = P[KaLb] - [WKK + WLL]

где P - цена готового товара (выпуска) на товарном рынке;

WK и WL - цены капитала и труда соответственно на рынке ресурсов.

Найдем условие первого порядка:

 П/ K = aPKa-1Lb - WK = 0

 П/ L = bPKaLb-1  - WL = 0

Умножим первое выражение на К и второе на L:

aPKaLb = WKK

bPKaLb = WLL

Так как KaLb = Q

можно записать:

aPQ = WKK

bPQ = WLL

Откуда получаем функцию спроса на ресурсы - зависимость между ценой фактора производства и объемом его покупки:

K = aPQ/WK

L = bPQ/WL

 

Задача 6

Вывести функцию предложения продукта для производственной функции Q=KaLb.

Ответ:

Для ответа на данный вопрос воспользуемся функциями спроса на факторы производства, полученные в задании 5.

Подставим функции спроса на ресурсы в производственную функцию фирмы:

Q = [aPQ/WK]a * [bPQ/WL]b =  [aP/WK]a * [bP/WL]b * Qa+b

Откуда получаем выражение для Q:

Q = [aP/WK]a/1-a-b * [bP/WL]b/1-a-b

Это и есть функция предложения товара Q данной фирмы.

 

Задача 7

Вывести функцию совокупных издержек для производственной функции Q=K1/2L1/2. Найти предельный издержки для этой производственной функции.

Ответ:

Для ответа на данный вопрос решим задачу минимизации издержек при данном выпуске.

Функция Лагранжа равна:

L = WL*L+WK*K + (Q-K1/2L1/2)

Находим условия первого порядка

L/K = WK + 1/2L1/2K-1/2 = 0

 L/ L = WL + 1/2K1/2L-1/2 = 0

L/ = Q-K1/2L1/2 = 0

Из этих уравнений выражаем K и L:

K = Q[WL/WK]1/2

L = Q[WK/WL]1/2

Подставляем значения равновесных объемов используемых факторов производства в функцию совокупных издержек.

TC = WLL+WKK = 2Q[WLWK]1/2

Мы получили функцию совокупных издержек как зависимость между объемом выпуска и совокупными издержками производства.

Отсюда найдем предельные издержки

MC = dTC/dQ = 2[WLWK]1/2

 

Задача 8

Компания “Проворный кролик” оценила следующим образом свою деятельность в 2001 году по сравнению с предыдущим годом: цена труда выросла на 20 тыс. руб., цена капитала сократилась на 10 тыс. руб., объем используемого труда уменьшился на 50 единиц, объем используемого капитала возрос на 100 единиц, совокупный выпуск фирмы увеличился на 200 штук, цена продукции снизилась на 5 тыс. руб. Технология производства не изменилась. Можно ли оценить деятельность руководства компании как хорошую, исходя из слабой аксиомы выявленной прибыльности?

Ответ:

Для оценки деятельности руководства рассмотрим слабую аксиому выявленной прибыльности. Аксиома утверждает, что относительную прибыльность компании в каком-либо году по сравнению с предыдущим периодом можно оценить на основе изменения выручки по сравнению с изменением затрат:

P*Q - WL*L - WK*K

где

P - изменение цены продукции;

Q - изменение выпуска продукции;

WL - изменение цены труда;

L - изменение объема используемого труда;

WK - изменение цены капитала;

K - изменение объема используемого капитала.

Если данная величина положительна, то есть если изменение прибыльности компании положительно, то компания увеличила свою прибыль в текущем году по сравнению с предыдущим (руководство компании работало хорошо). Если изменение прибыльности отрицательно, то компания сократила свою прибыль в текущем году, следовательно, деятельности компании была далека от совершенства.

Подставим конкретные значения изменений переменных:

-5*200 - 20*(-50) - (-10)*100 = 1000 >0

Следовательно, на основе слабой аксиомы выявленной прибыльности мы можем сделать вывод о том, что компания работала хорошо в 2001 году.

 

Задача 9

Сергей Сергеевич – менеджер преуспевающей строительной компании, занимающейся возведением дачных домиков. Технология строительства дачных домиков описывается производственной функцией:

Q = 2K1/2L1/2

где Q – количество построенных дачных домиков в неделю;

K – объем используемого капитала;

L – объем используемого труда.

Ставка заработной платы работника составляет 0,5 тыс. руб. в неделю, а аренда оборудования – 2 тыс. руб. в неделю. Какое количество работников и оборудования следует нанять Сергею Сергеевичу, чтобы его компания заработала максимум прибыли, выполняя контракт на строительство 200 дачных домиков в неделю, если цена дачного домика фиксирована?

Ответ:

В данном случае проблема максимизации прибыли совпадает с проблемой минимизации издержек. В точке минимума издержек выполняется эквимаржинальный принцип: оптимальные объемы капитала и труда должны быть такими, чтобы последняя денежная единица, истраченная на один или другой фактор производства, приносила одинаковый доход:

MPK               MPL

______   =   _______

r                         w

где r – цена единицы капитала;

w – цена единицы труда.

Подставив конкретные значения предельных продуктов капитала и труда из данной производственной функции, мы получим следующее выражение:

1/2*2*L1/2                 1/2*2*K1/2

___________   =   ________________

2*K1/2                        0,5*L1/2

После упрощения получаем взаимосвязь между объемами капитала и труда:

4K = L

В производственную функцию вместо используемого труда подставляем найденное выражение. Зная, что нам нужно построить 200 домиков, найдем оптимальный объем капитала и затем труда.

200 = 2K1/2*2K1/2 = 4K

K* = 50

L* = 200

На следующей неделе Сергей Сергеевич заключил контракт на изготовление 200 дачных домиков. Однако в его распоряжении оказалось только 100 работников. На какую величину средние краткосрочные издержки строительства превысят средние долгосрочные издержки?

Ответ:

Исходя из данных предыдущего вопроса, мы знаем, что долгосрочное равновесие фирмы, выпускающей 200 единиц продукции, при минимуме издержек требует использования 50 единиц капитала и 200 единиц труда. Поэтому совокупные долгосрочные издержки фирмы будут равны:

ТСLR = 0,5*200 + 2*50 = 200 тыс. руб.

Соответственно, средние долгосрочные издержки будут равны:

АСLR = 200/200 = 1 тыс. руб.

В краткосрочном периоде фирма не может использовать труд в полной мере (в связи с внешним ограничением). Поэтому фирма будет заменять труд капиталом, согласно своей производственной функции. Подставив в производственную функцию требуемый объем выпуска и ограничения по труду, получим объем капитала, которым фирма вынужденно заменяет труд для получения необходимого результата:

200 = 2K1/2*10

KSR = 100

Откуда получаем совокупные краткосрочные издержки:

TCSR = 0,5*100 + 2*100 = 250 тыс. руб.

И краткосрочные средние издержки:

АСSR = 1,25 тыс. руб.

Таким образом, краткосрочные средние издержки превышают долгосрочные средние издержки  на 0,25 тыс. руб. Эта величина показывает размер Х-неэффективности развития фирмы в краткосрочном периоде (в условиях наличия ограничения на масштаб использования одного из факторов производства).

На следующей недели Сергей Сергеевич получил в свое распоряжение только 100 тыс. руб. на закупки необходимых ресурсов. Какое количество дачных домиков сможет построить фирма Сергея Сергеевича, если ее целью является минимизация издержек?

 

Ответ:

На основе эквимаржинального принципа минимизации издержек мы знаем соотношение между оптимальными объемами труда и капитала, которые должна использовать фирма:

4K = L

Кроме того, известно, что совокупные издержки фирмы не могут превышать 100 тыс. руб. При данных ценах единицы труда и единицы капитала можно записать бюджетное ограничение фирмы (изокосту):

2K + 0,5L = 100

Подставив вместе L соответствующий объем капитала (4K), мы получим оптимальный объем капитала, который необходимо нанять фирме.

2K + 2K = 100

K* = 25

А затем и оптимальный объем труда:

L* = 100

При этом будет произведено следующее количество дачных домиков (согласно производственной функции, куда мы подставляем оптимальные значения используемых ресурсов):

Q* = 2*5*10 = 100 штук.

Еще через неделю работники потребовали от Сергея Сергеевича повышения заработной платы в два раза под угрозой забастовки. Сергей Сергеевич пошел на встречу работникам. Какой объем ресурсов наймет теперь фирма, если контракт заключен на строительство 100 домиков?

Ответ:

Воспользуемся эквимаржинальным принципом с новой ценой единицы труда:

L1/2                            K1/2

_________    ==     __________

      2K1/2                         L1/2

2K = L

Подставим выражение для L в производственную функцию и найдем оптимальные объемы капитала и труда, которые теперь необходимо использовать фирме:

100 = 2K1/2 (2K)1/2

K* = 35,7

L* = 71,4

Для удобства последующих расчетов Сергей Сергеевич хочет вывести функции общих, средних и предельных издержек как зависимости от цен ресурсов и объема строительства. Можете ли вы ему помочь?

Ответ:

Используем эквимаржинальный принцип в общем виде:

L1/2                    K1/2

________   =  ___________

                         rK1/2              wL1/2

 

Откуда получим следующее выражение:

wL = rK

L = r/w*K

Подставим выражение для L в  производственную функцию и выразим K:

Q = 2K1/2(r/w)1/2K1/2

K = Q/2*(w/r)1/2

Теперь подставим полученные выражения в функцию совокупных издержек:

TC = rK + rK = 2rK = Q(rw)1/2

Это и есть искомое выражение для функции совокупных издержек. Функции средних и предельных издержек получаются делением общих издержек на объем выпуска и взятием первой производной от функции совокупных издержек по объему выпуска соответственно.

AC = TC/Q = (rw)1/2

MC =  TC/ Q = (rw)1/2

Заметим, что для данной функции совокупных издержек функции средних и предельных издержек оказываются равными друг другу. Это означает наличие в долгосрочном периоде постоянной отдачи от масштаба, которую демонстрирует данная производственная функция.

Вопросы для повторения:

Каким образом фирма осуществляет выбор оптимального набора производственных ресурсов?

Какую роль играет в процессе выбора оптимального набора производственных ресурсов цель фирмы: максимизация прибыли и минимизация издержек?

Что такое предельная производительности денег? Какова ее роль в экономическом анализе?

В чем заключается сходство и в чем различие между теорией поведения потребителя и теорией фирмы?

Каким образом выводится функция условного и безусловного спроса на ресурс? В чем особенность функции спроса на ресурс для разных видов производственных функций?

Каким образом выводится функция предложения фирмы? Функция издержек фирмы?

Какую роль в поведении фирмы играют налоги?

Почему возможны некачественные производственные ресурсы, но невозможны «товары Гиффена» среди факторов производства фирмы?

В чем заключается теория выявленной прибыльности и выявленных издержек? Каким образом эта теория используется для анализа характеристик функции предложения фирмы, функции спроса фирмы на ресурс и исследования оптимального поведения фирмы?

Задачи и упражнения для самостоятельной работы:

1. Общие издержки фирмы равны: ТС = q3 - 14q2 + 69q + 128. Цена товара равна 50 руб. Найти: 1).все виды издержек (какие возможно) 2).какое количество товара (q) будет производить фирма, максимизирующая прибыль. 3).Написать функцию предложения фирмы в краткосрочном и долгосрочном периодах в условиях совершенной конкуренции.

2. В 2001 г. фирма «Голубь» увеличила использование капитала на 100 единиц и сократила использование труда на 50 человеко-часов. Руководство «Голубя» объяснило это тем, что цена труда выросла на 5 тыс. руб., а цена единицы капитал увеличилась только на 2 тыс. руб. Выпуск фирмы не изменился. Какой вывод можно сделать об эффективности работы фирмы? Минимизировала ли фирма издержки до повышения цен? После повышения цен?

3. В 2000 г. АО «Белые ночи» расширила объем производства на 200 тыс. штук в месяц после повышения цены единицы товара на 10 тыс. руб. В то же самое время цена единицы труда сократилась на 2 тыс. руб., а цена единицы капитала выросла на 4 тыс. руб. Фирма увеличила объем используемого труда на 1 тыс. человеко-часов и сократила объем используемого капитала на 1 тыс. машино-часов. Максимизировала ли фирма прибыль до изменения параметров рынка? После изменения параметров рынка? Выполняется ли для фирмы «Белые ночи» слабая аксиома минимизации издержек? Слабая аксиома максимизации прибыли?

4. Производство игрушек описывается функцией: Q = K1/3L2/3. Как изменится капиталовооруженность при увеличении соотношения цен ресурсов (цены единицы труда к цене единицы капитала) на один процент?

5. Прокомментируйте следующее утверждение: «При росте заработной платы фирма всегда вынуждена заменять труд капиталом».

6. Ваш бухгалтер потерял данные годового отчета. Остались только некоторые цифры, характеризующие деятельность вашей фирмы в отчетном периоде. Можете ли вы восстановить утраченные данные?

 

 

 

7. Покажите на графиках средних и предельных издержек и на графике совокупного предложения конкурентной отрасли действие паушального и стоимостного налога в краткосрочном и долгосрочном периодах.

8. Вашей фирме принадлежат два завода, выпускающие однородный товар. Совокупные издержки выпуска на первом заводе составляют:

TC1 = 5q1 +q12.

На втором заводе совокупные издержки равны:

TC2 = 40q2 + q22/2

В этом году вы планируете продать 25 тыс. единиц товара. Каким образом следует распределить производство между заводами? В следующем году аналитики предсказывают падение спроса на ваш продукт на 10 тыс. штук. Как вы распределите выпуск между заводами в этом случае?

9. Для производственных функций:

Q = K1/2L1/2

Q = min{5K; 2L}

Q = K + 1/2L

Q = K1/2 + L

Напишите функции условного и безусловного спроса на ресурс, функцию предложения фирмы, функции общих и предельных издержек и функцию роста фирмы.

10. В ЮАР очень остро стоит проблема незаконной добычи алмазов. Правительство рассматривает два плана сокращения незаконной добычи этого ценного продукта. Первый план предусматривает легализацию добычи при условии, что каждый производитель платит налог в размере 50% совокупной выручки. Второй план предусматривает уничтожение всех найденный незаконно добытых алмазов. Аналитики считают, что правительство в состоянии обнаружить половину того, что  добывается. Сравните воздействие каждого плана на производственные решения фирмы и ее равновесие. (Примечание: незаконно добытые алмазы продаются по единой цене на рынке).