3.3. Специальные вопросы теории производства

Основные типы задач с решением:

Задача 1

Производственная функция фирмы равна: Y=3KL. Объем применяемого капитала возрос на 10%, а объем применяемого труда снизился на 5%. 1).На сколько и каким образом изменился выпуск? 2).На сколько процентов должен изменится объем применяемого труда, чтобы выпуск фирмы оставался постоянным? Сократился на 2%?

Ответ:

Динамика изменения выпуска в зависимости от изменения факторов производства представлена таким образом:

Y = K + L + A

где Y - темп прироста совокупного выпуска;

K - темп прироста капитала;

L - темп прироста труда;

A - темп технического прогресса.

1). В данном случае при увеличении капитала на 10% и снижении объема используемого труда на 5% (технический прогресс отсутствует) мы получаем следующий прирост выпуска:

Y = 10-5 = 5%

Совокупное производство выросло на 5 процентов.

2). Если выпуск не меняется при росте объема используемого капитала на 10%, то

Y = 0 = 10 + L

Откуда прирост объема используемого труда равен:

L = -10%

Объем применяемого труда должен сократиться на 10 процентов.

3). Если выпуск сокращается на  2% при росте объема используемого капитала на 10%, мы получаем:

Y = -2 = 10 + L

Откуда находим прирост объема используемого труда:

L = -12%

Объем применяемого труда должен сократиться на 12 процентов.

 

Задача 2

Производственная функция фирмы имеет вид Q=KL. Цена труда составляет 10 тыс. руб. Фирма использует 5 единиц труда и 10 единиц капитала. Каковы предельные издержки фирмы?

Ответ:

Предельные издержки фирмы равны отношению цены труда к среднему продукту труда:

MC = PL/APL

Средний продукт труда равен:

PL = Q/L = K = 10

Теперь находим значение предельных издержек фирмы:

МС = 10/10 = 1 тыс. руб.

 

Задача 3

Известно, что цена труда составляет 100 тыс. руб. Средний продукт труда равен 10. Чему равны средние переменные издержки?

Ответ:

Средние переменные издержки определяются как

AVC = WL*L/Q

При этом Q/L = APL - средний продукт труда, а WL - цена единицы труда.

Отсюда получаем

AVC = WL / APL = 100/10 = 10 тыс. руб.

 

Задача 4

Первоначально капиталовооруженность труда была равна 10. Чему стала равна капиталовооруженность труда при росте предельной нормы технологической замены на 10%, если эластичность замены капитала трудом составляет 2?

Ответ:

Эластичность замены определяется как процентное изменение капиталовооруженности труда в ответ на один процент изменения предельной нормы технологической замены, то есть:

E = [K/L]% /[MRTS]%

Откуда можно найти процентное изменение капиталовооруженности труда при изменении предельной нормы замены на 10%:

[K/L]% = 2*10 = 20%

Если первоначальный уровень капиталовооруженности составлял 10, то при росте на 20 процентов уровень капиталовооруженности стал равен:

[K/L]2 = 1.2*10 = 12

 

Задача 5

Для функции Кобба-Дугласа Q=K1/3L2/3 найти эластичность замены капитала трудом.

Ответ:

Эластичность замены капитала трудом равна

Е =[K/L]% / [MRTS]%,

где  [K/L]% = [(K/L)1-(K/L)0] / (K/L)0 ;

[MRTS]% = [MRTS1 - MRTS0] / MRTS0

MRTS = MPL/MPK

Находим значения вспомогательных переменных.

Предельный продукт труда равен:

MPL = 2/3K1/3 / L1/3

Предельный продукт капитала составляет:

MPK = 1/3L2/3 / K2/3

Предельная норма технологического замещения труда капиталом равна:

MRTS = 2K/L

Изменение предельной нормы технологического замещения будет равно:

[MRTS]% = [2[(K/L)1-2(K/L)0] / 2(K/L)0  = [(K/L)1-(K/L)0] / (K/L)0

Находим значение эластичности замены:

E = [(K/L)1-(K/L)0] / (K/L)0 : [(K/L)1-(K/L)0] / (K/L)0 = 1

Таким образом, эластичность замены капитала трудом для функции Кобба-Дугласа равна единице.

 

Задача 6

В чем состоит различие между траекториями краткосрочного и долгосрочного роста фирмы?

Ответ:

В краткосрочном периоде фирма не может изменить объем используемого капитала (постоянного фактора производства). Поэтому рост фирмы – переход на более высокий уровень изокванты – достигается за счет увеличения объема переменного фактора (труда) (на рисунке движение из точки А в точку В). В долгосрочном периоде фирма может варьировать объемы использования всех факторов производства. Траектория роста будет определять целью фирмы – минимизацией издержек. На рисунке долгосрочная траектория представлена движением из точки А в точку С. В точке В, соответствующей траектории краткосрочного роста, не будет достигнут минимум издержек. Разница между краткосрочными (неоптимальными) и долгосрочными (оптимальными) издержками соответствует Х-неэффективности производства. Наличие Х-неэффективности вызвано тем, что в краткосрочном периоде фирма использует неоптимальное сочетание капитала и труда (K1 и L2) в отличие от оптимального, которое характерно для долгосрочной траектории роста (K2; L3).

                        K

 

                            

                                   Q1       Q2

                          K2                     C

                                                               B

  K1          A                   

 

                                          L1   L3          L2                                         L

 

Задача 7

Какой тип технического прогресса характерен для производственных функций:

Q1 = K1/2 + L

Q2 = K1/2L1/2

Q3 = lnL +K1/2

Ответ:

Тип технического прогресса определяется по изменению предельной нормы технологического замещения (MRTS) при увеличении или сокращении использования в одинаковой степени всех факторов производства. Тип технического прогресса выражается графически в изменении формы ветвей изокванты при движении вверх или вниз графика. Если MRTS не изменяется, технический прогресс считается нейтральным. Это случай со второй производственной функцией. Если предельная норма технологического замещения капитала трудом растет (то есть требуется все больший объем капитала при замене его на единицу труда при росте выпуска), мы имеем дело с капиталоинтенсивным, или трудосберегающим техническим прогрессом. Это - первая производственная функция. Если же MRTS сокращается, означая уменьшающийся объем капитала при замене его на единицу труда с увеличением выпуска, перед нами трудоинтенсивный, или капиталосберегающий технический прогресс. Это – случай третьей производственной функции.

 

Задача 8

Производственная функция равна: TC=Q2 + 100. Чему будут равны прибыль конкурентной фирмы и ее излишек производителя в краткосрочном периоде при рыночной цене продукции в 50 руб.?

Ответ:

Найдем равновесие конкурентной фирмы. Оно достигается при равенстве предельных издержек фирмы рыночной цене продукции.

МС =  TC/Q = 2Q = P = 50

Q = 25

Прибыль фирмы будет равна:

П = TR – TC = 50*25 – 725 = 525

Излишек производителя в краткосрочном периоде составляет сумму прибыли и постоянных издержек фирмы:

PS = 525 + 100 = 625

Вопросы для повторения:

Каким образом различаются траектории краткосрочного и долгосрочного роста фирмы?

Что такое оптимальный путь расширения производства?

Каков экономический смысл Х-неэффективности? В каких случаях мы говорим о наличии Х-неэффективности или Х-эффективности в производстве?

Какие типы технического прогресса выделяют в экономическом анализе?

Каким образом связаны тип технического прогресса, предельная норма технологического замещения и форма изокванты (тип производственной функции)?

Каково соотношение между средними и предельными издержками и средним и предельным продуктом переменного фактора производства? Всегда ли выполняется это соотношение?

От чего зависит форма функций общих, средних и переменных издержек в долгосрочном периоде?

Какую роль играет эластичность производства в поведении фирмы в краткосрочном периоде? В долгосрочном периоде?

Какие виды эластичностей используются в теории фирмы? С какой целью?

Как соотносятся величины минимально эффективного выпуска (размера)  фирмы, эластичность производства и величины средних и переменных издержек?

 

Задачи и упражнения для самостоятельной работы:

1. Для производственных функций, данных ниже, выполните следующие задания:

а). определить тип производственной функции

б). вычислить предельную норму технологического замещения труда капиталом и эластичность замены

в). найти равновесные объемы используемых факторов производства, если цена единицы труда равна 10, цена единицы капитала равна 12, а общие ресурсы фирмы составляют 100

г). найти эффект масштаба

д). указать траекторию краткосрочного и долгосрочного роста фирмы

е). вывести функцию общих и предельных издержек фирмы

ж). вывести функцию предложения данной фирмы

з). определить предельную производительность денег

и). найти эффект замены  и эффект выпуска при снижении цены труда в два раза

к). определить тип технического прогресса

Q = L2 + 10K

Q = K2 + L2

Q = ln(K+L)

Q = K + L

Q = K + L

Q = (K+L)2

Q = 1 - 1/K - 1/L

Q = L + lnK

Q = L2K3

Q = L1/2K1/4

Q = KL/10

Q = lnK + lnL

2. Средний продукт труда равен 100, цена единицы труда равна 10. Чему равны средние переменные издержки фирмы?

3. Известно, что в данном году постоянные издержки возросли на 10 тыс. руб. При этом прибыль фирмы сократилась на 5 тыс. руб. На сколько изменился излишек производителя?

4. В 2001 г. постоянные издержки фирмы возросли за счет квазипостоянного фактора производства. Какого изменения выпуска можно ожидать от фирмы в данном году, если фирма действует в условиях конкурентного рынка? Как изменился бы выпуск фирмы, если рост ее постоянных издержек был достигнут не за счет квазипостоянного фактора?