4.1. Равновесие спроса и предложения.

Основные типы задач с решением:

Задача 1

Спрос на елочные игрушки конкурентен. Функция спроса равна

QD=200-10P.

Средние издержки типичной фирмы, производящей елочные игрушки,  составляют:

АСi=5+(q-5)2

Какое число фирм будет характерно для отрасли в долгосрочной перспективе?

Ответ:

Каждая фирма будет стремиться к максимизации прибыли. Условие первого порядка максимизации прибыли в условиях совершенной конкуренции в долгосрочном периоде есть равенство рыночной цены минимальному значению средних издержек типичной фирмы:

P=minAC

Минимум средних издержек находится через равенство нулю первой производной функции средних издержек по объему выпуска:

AC' = dAC/dq = 0

Находим:

2(q-5)=0

Откуда получаем значение равновесного выпуска фирмы:

q*=5

Подставляя значение равновесного выпуска фирмы в ее функцию средних издержек, получаем значение равновесной цены рынка в долгосрочном периоде:

P* = AC = 5

Так как, по условию, рынок находится в равновесии, совокупный спрос рынка будет равен совокупному предложению:

QD=200-50=150=QS

Равновесной число фирм в отрасли определяется как отношение совокупного выпуска отрасли к равновесному выпуску типичной фирмы:

N=QS/q* = 150/5=30

Таким образом, в долгосрочной перспективе в отрасли будут действовать 30 фирм.

 

Задача 2

Какаду — товар, за которым охотятся иностранцы в Австралии. Австралийское правительство объявило экспорт какаду вне закона. Образовался черный рынок какаду. Издержки, связанный с поимкой одного какаду и его доставкой в Европу, где птица пользуется спросом, составляют 40 долл. Поскольку контрабандные какаду перевозятся в чемоданах, половина из них умирает, не доехав до Европы. Вероятность того, что контрабандный груз будет обнаружен, составляет 10% на одного какаду. Если контрабандист схвачен, птицу конфискуют, а он должен заплатит штраф в размере 500 долл. Функция спроса на какаду в Европе (шт. в год):

Qd=7200–20P.

Какое количество какаду продается в Европе каждый год? Сколько птиц должно быть поймано в Австралии для этого?

Предположим, что таможенники вместо того, чтобы выпускать на волю обнаруженных контрабандных живых какаду, продают их в Европу. Каким образом действия таможенников отразятся на рынке какаду в Европе?

Предположим, рынок (отлов и сбыт) какаду легализован. Какаду вывозятся из Австралии в удобных клетках, так что число птиц погибших в дороге пренебрежимо мало. Какое количество птиц будет поймано в Австралии, продано в Европе и по какой цене?

Ответ:

Пусть Р — цена по которой какаду продается в Европе, а QS — количество птиц, пойманных в Австралии, тогда прибыль контрабандистов от продажи птиц в Европе составит:

p=Р×(1–0,1)×0,5×QS—TC(QS)—0,1×500×QS,

где Р×(1–0,1)×0,5×QS — ожидаемая выручка от продажи живых птиц в Европе;

TC(QS)=40×QS — совокупные издержки на поимку птиц в Австралии;

0,1×500×QS — ожидаемые издержки наказания за нелегальную торговлю.

Из условия максимизации прибыли контрабандистов: dp/dQS=0, найдем цену на какаду, по которой выгодно продавать птиц в Европе:

P=(40+0,1×500)/(0,5×0,9)=200.

По этой цене в соответствии с функцией спроса будет продано:

Qd=7200–20×200=3200 птиц,

что составляет 45% птиц, пойманных в Австралии (Qd=(1–0,1)×0,5×QS).

Откуда число птиц, пойманных в Австралии, составит:

QS=3200/0,45=7111.

Если все птицы, перехваченные таможенниками, будут доставлены в Европу, то предложение птиц в Европе увеличится на 0,1×7111 штук и цена на одну птицу из условия рынка упадет до:

QS=3200+0,1×7111=3911=Qd=7200–20×P

P=164.

В условиях свободной торговли попугаями цена установится на уровне предельных издержек:

Р=40.

Тогда будет поймано и продано:

QS=Qd=7200–20×40=6400 птиц.

Задача 3

Рынок винограда в Москве может быть описан такими функциями:

Спрос: Qd = 600 - 10P

Предложение: Qs = 320 + 4P

Какова ценовая эластичность спроса и предложения винограда в Москве, если рынок находится в равновесии?

 

Ответ:

Ценовые эластичности находим в точке равновесия. Равновесие определяется равенствами спроса и предложения товара:

Qd=Qs

600-10P = 320+4P

Откуда получаем равновесный объем продаж:

Q* = 400

и равновесную цену:

Р* = 20

Ценовая эластичность спроса равна:

Еd = dQd/dP : (Q/P) = -10/20 = -0.5

Ценовая эластичность предложения равна:

Еs = dQs/dP : (Q/P) = 4/20 = 0.2

Мы видим, что и спрос и предложение товара являются неэластичными по цене.

 

Задача 4

Пусть спрос задан показательной функцией (функцией с постоянной эластичностью):

Qd=a0×P(–a1)×Ia2,

где Qd — величина спроса на товар; P — цена товара; I — доход потребителя; a0, a1, a2— положительные параметры. Представьте функцию спроса в логарифмическом виде. Найдите показатели эластичности спроса по цене и доходу. Каким образом связаны коэффициенты в логарифмической модели спроса и показатели эластичности спроса?

Ответ:

Представим функцию спроса в логарифмическом виде:

lnQd=lna0–a1×lnP+a2×lnI.

Такая форма представления часто бывает удобна. В частности, поскольку это уравнение линейно, его коэффициенты (a0, a1, a2) легко оценить с помощью регрессионного анализа.

По определению ценовая эластичность спроса равна:

 

Этот же результат можно получить несколько проще, используя логарифмическое представление, если вспомнить другое выражение для коэффициента эластичности. Поскольку dlnX=dX/X, то ценовая  эластичность может быть представлена через логарифмы:

Аналогично может быть рассчитана эластичность спроса по доходу:

 

Таким образом, оба показателя эластичности постоянны и не зависят ни от объема спроса, ни от уровня дохода потребителя. Это объясняет, отчего спрос, представленный показательной функцией, носит и другое название — функции спроса с постоянной эластичностью. Мы также показали, что в этом случае значения показателей эластичности спроса являются коэффициентами при переменных в логарифмическом представлении функции спроса.

 

Задача 5

Известно, что на рынке карандашей в первый период времени ценовая эластичность спроса была равна (-5), а ценовая эластичность предложения – (+1,25). Во второй период времени цена одного карандаша составила 4,75 руб., что выше равновесной на 0,25 руб. Функции спроса и предложения карандашей линейны. Используя паутинообразную модель достижения равновесия, определите какой была цена в начальный период времени?

Ответ:

Для получения значения цены в начальный период времени воспользуемся паутинообразной моделью рынка.  Запишем функции спроса и предложения как зависимости объемов от цены товара в данном периоде времени.

Функция спроса: D(P) = c - ePt

Функция предложения: S(P) = a + bPt-1

Согласно законам спроса и предложения, параметры е и b – положительны. Будем считать, что при нулевой цене величина спроса превышает величину предложения:

D(0) > S(0)

c > a >0

Если система находится в равновесии, для нее выполняется условие:

D(Pt) = S(Pt-1)

Или

c – ePt = a + bPt-1

Выразим из этого условия Pt:

Pt = (c-a)/e – (b/e)Pt-1

Теперь будем последовательно применять это соотношение для поиска уровней цен.

P1 = (c-a)/e – (b/e)P0

Р2 = (c-a)/e – (b/e)P1 = (c-a)/e – (b/e)[ (c-a)/e – (b/e)]P0

Р3 = (c-a)/e – (b/e)P2 = (c-a)/e – (b/e)[ (c-a)/e – (b/e)[ (c-a)/e – (b/e)]]P0

Найдем решение в общем виде.

Pt = (c-a)/e*[1 – b/e + (b/e)2 + ... + (-1)t-1*(b/e)t-1] + (-1)t*(b/e)tP0

Заметим, что выражение

(c-a)/e*[1 – b/e + (b/e)2 + ... + (-1)t-1*(b/e)t-1]

есть сумма геометрической прогрессии с первым членом

(c-a)/e

и знаменателем

b/e

Заменив выше указанное выражение через предел суммы геометрической прогрессии, найдем выражения для цены в любой момент времени:

(c-a)            1 – (-1)t(b/e)t

Pt  =                     ______   *   ____________    +  (-1)t (b/e)t P0

e                      1 + b/e

Исследуя разные значения отношения b/e, мы можем получить разные варианты равновесия на рынке.

Если b/e < 1, то (b/e)t  0

и Pt  = (с-а)/(b +e) – единственной равновесной цене рынка.

Это означает, что при более крутой кривой предложения по сравнению с кривой спроса равновесие на рынке единственно и устойчиво.

Если b/e > 1, то (b/e)t    и равновесие неустойчиво: динамический процесс рынка приводит к расхождению.

Если b/e = 1, то равновесие будет чередующимся: рыночные цены будут испытывать регулиярные колебания с постоянной амплитудой.

Вернемся теперь к нашим исходным данным.

Ценовую эластичность спроса можно выразить через параметр угла наклона функции спроса и равновесных значений цен и объемов:

Ed = -ePe/Qe

А ценовую эластичность предложения – через параметр угла наклона функции предложения и равновесных значений цен и объемов:

Es = bPe/Qe

Зная эластичности спроса и предложения, мы можем найти параметры углов наклона соответствующих функций, а затем найденные значения подставим в динамическую функцию равновесной цены:

P2 = (c-a)/e – (b/e)[ (c-a)/e – (b/e)]P0

Откуда, зная Р2, найдем Р0

Р0 = 1.

Такой была цена в начальный период времени.

 

Задача 6

Функции спроса и предложения на рынке товара Х представлены в виде:

QS = bP – a

QD = c – dP

где a, b, c, d – положительные константы.

Правительство вводит акцизный налог в размере t на каждую проданную единицу продукции. Чему будет равна новая равновесная цена на товар Х? Возрастет ли цена на полную величину налога?

Ответ:

Найдем первоначальную цену равновесия, уравнивая объемы продаж и покупок.

QD = QS

bP – a = c – dP

Откуда получаем первоначальное значение равновесной цены.

P* = (c+a)/(b+d)

Когда вводится налог, цена, которую получают производители за единицу товара, отличается от цены, которую уплачивают потребители, на величину налога:

PD – t = PS

Поэтому объем продаж также будет другим:

QS = b(P-t) – a = QD = c – dP

Откуда можно получить новое значение равновесной цены.

Pt = (c+a)/(b+d) + [b/(b+d)]t  = P* + [b/(b+d)]t

Мы видим, что цена возросла на величину [b/(b+d)]t. Так как параметры – положительны, следовательно величина b/(b+d) будет меньше единицы,  и, следовательно, цена возросла в меньшей  степени, чем величина налога.

 

Задача 7

Если правительство вводит налог в размере t на каждую проданную единицу товара, то каким образом налоговое бремя распределяется между потребителями и производителями?

Ответ:

Распределение налогового бремени будет зависеть от ценовых эластичностей спроса и предложения.

Наличие налога означает, что цена, которую уплачивают потребители, превышает цен, которую получают за единицу товара производители, на величину налога:

PD – PS = t

где PD – цена, которую уплачивают потребители;

PS – цена, которую получают производители.

Изменение величины налога (dt) означает изменение цены и потребителя и производителя

dPD – dPS = dt

при том, что в равновесии изменение величины спроса должно соответствовать изменению величины предложения:

dQD = dQS

Разделим и умножим правую часть на изменение цены равновесия для производителей, а левую часть – на изменение цены равновесия для потребителей.

dQD * dPD/dPD = dQS * dPS/dPS

В правую часть вместо цены для производителей подставим ее выражение через величину налога:

dPS = dPD – dt

dQD * dPD/dPD = dQS * dPD/dPS – dQS * dt/dPS

Разделим обе части полученного выражения на dt и перегруппируем члены, так чтобы выразить изменение цены для потребителей вследствие изменения ставки налога.

 

         dQS/dPS

dPD/dt =      _________________________

            dQS/dPS – dQD/dPD

Если изменение налоговой ставки незначительно (стремится к нулю), то в окрестностях новой точки равновесия будут наблюдаться следующие равенства:

PD = PS = P*

QD = QS = Q*

Поэтому мы можем переписать правую часть предыдущего выражения через значения ценовых эластичностей:

ES

dPD/dt  =  __________________

     ES – ED

где ES – ценовая эластичность предложения;

ED – ценовая эластичность спроса ( как правило, отрицательна).

Соответственным образом, можно выразить и реакцию цены для производителей в результате изменения налога:

ED

dPS/dt  =  __________________

          ES – ED

Таким образом, величина налогового бремени будет тем относительнее выше для какого-либо экономического агента (потребителей или производителей), чем относительно ниже по абсолютному значению его ценовая эластичность.

 

Задача 8

Функции спроса и предложения на рынке товара представлены в виде следующих линейных функций:

QS = bP – a

QD = c – dP

где a, b, c, d – положительные константы.

Правительство вводит налог в размере t на каждую проданную единицу товара. Каким должны быть величина налога, чтобы максимизировать общую величину налоговых сборов для правительства?

Ответ:

Совокупная величина налоговых сборов для правительства – это произведение ставки налога на величину налогооблагаемой базы (объема продаж):

T = tQt

где Qt – объем продаж в условиях налога.

В условиях нового равновесия цена, которую получают производители, будет отличаться от цены, которую уплачивают потребители за единицу товара, на величину налога. Поэтому новое равновесие на рынке будет выглядеть следующим образом:

QS = b(P-t) –a = QD = c – dP

Откуда получим новую цену равновесия с учетом налога.

Pt = (c+a)/(b+d) + b(b+d)t

Соответственно, объем продаж в условиях действия налога будет равен:

Qt = c – dPt = (bc-ad)/(b+d) – (bd)/(b+d)t

Найдем теперь функцию совокупных налоговых сборов.

T = (bc-ad)/(b+d)t – (bd)/(b+d)t2

Точка максимума данной функции находится, исходя из условия первого порядка.

dT/dt = 0

t* = (bc-ad)/(2bd)

Проверим на условие второго порядка.

d2T/dt2 = (-2bd)/(b+d) < 0

Следовательно, t* - максимум нашей функции.

Это и будет искомая величина оптимальной ставки налога.

 

Задача 9

Функция спроса на товар представлена в виде:

QD = A/Pb = AP-b

Найти ценовую эластичность спроса.

Ответ:

Запишем формулу ценовой эластичности спроса.

ED =  - dQD/dP* P/QD

Найдем значение ценовой эластичности для данной функции спроса.

ED = - (-bAP-b-1)P/(AP-b) = b = const

Мы получили, что ценовая эластичность не зависит от величины цены, она будет постоянной. Функция спроса подобного вида называется функцией спроса с постоянной эластичностью.

Вопросы для повторения:

В каких случаях равновесие на рынке совершенной конкуренции будет стабильным? Не будет стабильным?

В чем заключается особенность паутинообразной модели рынка совершенной конкуренции? Как находится равновесная цена и равновесный объем продаж в статическом и динамическом случаях?

Какую роль играет параметр времени в достижении и удерживании равновесия на рынке?

В чем заключаются особенности индивидуального и рыночного спроса? Индивидуального и рыночного предложения? Всегда ли рыночный спрос и рыночное предложение являются простой суммой индивидуальных спросов и предложений соответственно?

Какие виды эластичностей спроса и предложения используются в экономическом анализе?

Какая связь существует между ценовыми эластичностями спроса и предложения и коэффициентами линейных функций спроса и предложения?

Каким образом разные виды налоговой политики могут повлиять на конкурентное равновесие в краткосрочном периоде? В долгосрочном периоде?

Как формируются цены потребителя и производителя в условиях действия разного рода налогов?

Какие факторы оказывают влияние на сдвиг функций спроса и предложение? Изменение наклона линейных функций спроса и предложения?

Задачи и упражнения для самостоятельной работы:

1. В каких случаях невозможно достижение равновесия на рынке? Пересечение кривых спроса и предложения? Каков экономический смысл подобных видов продуктов?

2. Покажите графически и аналитически, каким образом изменится равновесие конкурентной фирмы и конкурентной  отрасли в краткосрочном и долгосрочном периодах при введении государственной субсидии однократного характера, субсидии в зависимости от величины выпуска, субсидии в зависимости от стоимости выпуска? Почему ваши ответы будут различными?

3. Известно, что при росте урожая сельскохозяйственных культур выручка их производителей падает. Каким образом данный факт интерпретирует экономическая теория? Что можно сказать на основе данного факта о ценовых эластичностях спроса и предложения сельскохозяйственных культур?

4. Равновесная цена меди на мировом рынке равна 0.75 доллара за фунт. Ежегодно продается 750 млн. фунтов меди. Ценовая эластичность спроса на медь равна (-0.4). Какова линейная функция спроса на медь?

5. Спрос на учебники по экономике в Москве абсолютно неэластичен, а эластичность предложения равна 3. Мэр Москвы устанавливает налог на производителей (и продавцов) учебников в размере 10 руб. за учебник. (а) Что произойдет на рынке учебников в Москве? (b) Как бы изменился ваш ответ на данный вопрос, если бы вы узнали, что предложение учебников абсолютно неэластично, а эластичность спроса превышает по абсолютному значению 1? (c) Если спрос является абсолютно эластичным по цене, а эластичность предложения – не больше 3? (d) Если предложение является абсолютно эластичным по цене, а эластичность спроса по абсолютному значению — не выше 2? Приведите графические иллюстрации для каждого случая. (e) В каких из выше перечисленных случаев благосостояние потребителей падает в результате налога в наибольшей степени? В наименьшей степени? Благосостояние производителей падает в наибольшей степени? В наименьшей степени?

6. Известно, что на рынке арбузов функции спроса и предложения линейны. В точке равновесия отношение ценовой эластичности спроса к ценовой эластичности предложения составляет (-4). Во второй период времени цена на рынке превысила равновесную на 0,15 и составила 4,25. Какой была рыночная цена в начальный период времени? В первый период времени?

7. Правительство страны Х ввело пошлину на продажу импортируемых бананов в размере 100 долл. на каждую тонную импорта бананов. Известно, что предложение зарубежных бананов в стране Х абсолютно эластично по цене, а функции внутреннего спроса и предложения – линейны. В результате протекционистской политики правительства внутреннее предложение бананов возросло с 8 тыс. т до 10 тыс. т в год, а спрос на зарубежные бананы упал с 12 тыс. т до 5 тыс. т в год. Какова величина чистых потерь благосостояния, связанные с введением импортной пошлины? Если бы правительство вместо пошлины ввело квоту на импорт бананов в размере 5 тыс. т в год, как бы изменилась величина чистых потерь благосостояния от протекционистской политики во втором случае по сравнению с первым случаем? Какими были бы поступления в гос. бюджет от проведения первой и второй видов внешнеторговой политики?

8. Вы – советник Президента страны «Лучшее будущее». В вашей стране действует 10 фирм по добыче и переработке нефти, каждая из которых характеризуется стандартной функцией U-образной формы средних издержек. Все национальные производители обеспечивают только 75% внутреннего спроса на нефть, а остальное – страна закупает на мировом рынке, где монополистом является ОПЕК. Национальная нефтяная отрасль находится в состоянии долгосрочного равновесия. Нарисуйте внутренний рынок нефти, а также равновесие отдельной фирмы (внутренний рынок является конкурентным). На следующий год ОПЕК решило прекратить экспорт нефти в вашу страну. Покажите, каким образом это решение отразиться на внутреннем рынке вашей страны и на положении типичной национальной фирмы. Выяснилось, что национальные производители нефти получают благодаря решению ОПЕК существенные прибыли, и это является предметом озабоченности общественности. Президент советуется с вами относительно нескольких вариантов поведения правительства. (1) Ничего не предпринимать. (2) Ввести 50% налог на прибыль нефтедобывающих фирм. (3) Ввести налог в размере 1 долл. на каждую тонну добываемой нефти. (4) Ввести потолок цен на нефть, добываемую внутри страны. Проанализируйте последствия каждого варианта в краткосрочном и долгосрочном периодах для прибыли и выпуска фирмы и отрасли в целом, а также для благосостояния потребителей нефти. Какой вариант вы бы посоветовали осуществить? (Примечание: учтите все возможные последствия!)

9. Пусть функция общих издержек фирмы, выпускающей, описывается выражением:

TС=200+25q–6q2+(1/3) q3.

Допустим, отрасль является совершенно конкурентной и в краткосрочном периоде цена равновесия составила 70 .

Определите сколько будет выпускать фирма в краткосрочном периоде. Будет она получать прибыль или убыток?

Определите равновесную цену в долгосрочном периоде, при условии, что фирма является типичной. Какова будет величина прибыли в долгосрочном периоде?

10. В отрасли работает 10 фирм общие затраты которых характеризуются функцией TС1=10+8q–4q2+ q3, и 8 фирм с функцией TС2=15+20q–5q2+0,5×q3. Отраслевой спрос может быть описан следующей зависимостью: QD=120–2P. Определите параметры краткосрочного и долгосрочного рыночного равновесия. Результат решения проиллюстрируйте графически.

11. Продукция на рынке продается тремя производителями со следующими функциями предложения Q1S=×P–3; Q2S=4×P–20; Q1S=5×P. Определите отраслевую эластичность предложения по цене, если на рынке установится цена равная a) 4; b) 6; c) 5.

12. Известно, что на местном рынке винограда (сорт «Дамские пальчики») установилось равновесие и его параметры P=5  и Q=20. При этом показатель эластичности спроса по цене составил ed=–0,5, а показатель эластичности предложения — eS=+0,2.

Каковы будут параметры рыночного равновесия, если спрос на него увеличится на 5% в связи с наплывом туристов, а его предложение сократиться на 10% в связи с окончанием сезона. Будем считать, что в пределах указанных изменений спрос и предложение могут быть описаны линейными функциями. Приведите графическую иллюстрацию.