6.1. Общее равновесие

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 

Основные типы задач с решением:

Задача 1

Винипух и Пятачок делят между собой 100 кг моркови и 200 кг репы. Функция полезности Винипуха равна U=X2Y, функция полезности Пятачка U=XY2, где Х - количество моркови; Y - количество репы.

1). Постройте кривую контрактов Винипуха и Пятачка.

2). Постройте границу потребительских возможностей двух друзей.

3). Пусть первоначальное распределение благ оказалось таким:

Винипух: X=20; Y=50; Пятачок: Х=50; Y=20 

при ценах на морковь РХ=10 и на репу PY=5.

Является ли первоначальный набор оптимальным? В каком направлении должны меняться цены товаров, чтобы распределение благ изменялось в направлении Парето-оптимальном?

Ответ:

1). Воспользуемся условием оптимальности набора по Парето. Предельная норма замещения моркови репой для Вини должна быть равна предельной норме замены репы морковью для Пятачка: 2Y1/X1 = Y2/2X2. Мы знаем, что совокупный объем каждого товара для двух друзей равен тому объему, который имелся у них первоначально:

Х1+Х2 = 100

Y1+Y2 = 200

Выразим Y1 из формулы предельной нормы замены через Х1:

Y1=Y2*X1/4X2 = (200-Y1)*X1/4(100-X1)

Получаем выражения для контрактной кривой Винипуха и Пятачка:

Y1 = 200X1/(400 - 3X1)

Y2 = 200-Y1

Х2=100-Х1

Задавая значения Х1 от 0 до  100, получаем значение остальных переменных, характеризующих точки на кривой контрактов. Например, приравняем Х1 последовательно к 0, 10, 50, 80, 90, 100. Получим координаты шести точек на контрактной кривой:

 

Точки

А

В

С

D

E

F

X1

0

10

50

80

90

100

X2

100

90

50

20

10

0

Y1

0

5

40

100

138

200

Y2

200

195

160

100

62

0

 

Соединив точки, получаем приблизительный вид кривой.

Зная варианты оптимального распределения моркови и репы, найдем уровень полезности, которого достигают Винипух и Пятачок.

Точки

А

В

С

D

E

F

U Вини

0

500

100 000

640 000

1 117 800

20 000 000

U Пятачка

40 000 000

308 002 500

1 280 000

200 000

38 440

0

По имеющимся данным можно построить примерный вид границы потребительских возможностей двух друзей.

3). Оптимальное распределение благ означает равенство предельных норм замещения двух товаров для двух потребителей. Проверим, выполняется ли это равенство для Винипуха и Пятачка.

Предельная норма замещения репы морковью для Винипуха равна:

MUX1/MUY1 = 2XY/X2 = 2Y/X = 100/20 = 5

Предельная норма замещения моркови репой для Пятачка составляет:

MUX2/MUY2 = Y2/2XY = Y/2X = 20/100 = 0.2

Мы видим, что

MUX1/MUY1 > MUX2/MUY2

Так как равенство предельных норм замены по функциям полезности не выполняется, то первоначальное распределение не является оптимальным.

Направление изменения цен определяется знаком избыточного спроса для товаров.

Для этого определим выбор потребителей при первоначальных ценах и первоначальном наборе товаров и сравним параметры последнего с  первоначальным набором, которым они располагают.

Для Винипуха первоначальный набор эквивалентен денежному доходу в размере:

20*10+50*5 = 200+250=450

При таком доходе оптимальный объем потребления товаров  для него должен быть:

 MUY1/MUX1 = 2Y1/X1 = 2

X1=Y1

Подставляем в бюджетное ограничение:

10X1+5X1 = 450

и получаем:

15X1=450.

Находим равновесные объемы потребления каждого товара для Винипуха:

X1*=30 и Y1*=30.

Следовательно, Винипух стремится добавить к своему первоначальному набору 10 единиц товара Х и избавиться от 20 единиц товара Y.

Пятачок стремится целиком расходовать свой доход

50*10+20*5=600.

Его равновесие наблюдается в случае:

MUX2/MUY2 = Y2/2X2 = 2

Y2=4X2

10X2+20X2 = 600

30X2=600

Получаем оптимальные значения потребления каждого товара для Пятачка:

X2*=20 и Y2*=80.

Итак, Пятачок стремится добавить к своему первоначальному набору 60 штук товара Y и избавиться от 30 шт. товара X.

Объем избыточного спроса - разность между количеством товара, которое потребитель хочет иметь, и тем, которое он имеет, - на товар Х составляет

X = X1+X2 = -20;

Объем избыточного спроса на товар Y составляет

Y = Y1+Y2 = +40

Направление изменения цен товаров совпадает со знаком объема избыточного спроса; цена товара Y будет расти, цена товара X будет сокращаться.

 

Задача 2

Производственная функция замкнутой экономики описывается как:

Q=40L-5L2

где L - объем используемого труда.

Функция полезности потребителей в экономике равна:

U=2Q-2L2

Какой объем продукции будет выпускать экономика в равновесии, какой объем труда при этом будет использоваться, чему равна совокупная полезность выпуска и относительная цена труда?

Ответ:

В равновесии предельный продукт труда должен быть равен предельной норме замены между трудом и продуктом (отношение предельных полезностей труда и продукта, выраженных через функцию полезности) и отношению цен труда и продукта (относительной цене труда). Получаем:

MPL = MUL/MUQ = PL/PQ

или

40-10L = -2L.

Откуда находим равновесный объем труда: L*=5. Подставляя в производственную функцию значение равновесного объема труда, находим оптимальный выпуск: Q*=75.

Оптимальные значения выпуска и объема используемого труда дадут оптимальное значение совокупной полезности в экономике: U*=100.

Относительную цену труда определяем через выражение предельной нормы замены труда продуктом в равновесии: PL/PQ=10.

 

Задача 3

Самообеспечение  Робинзона состоит из ловки рыбы и сбора бананов. В год Робинзон намеревается распределить 200 часов работы между этими двумя занятиями. Производственная функция для ловли рыбы равна:

F=Lf1/2,

где F - объем выловленной рыбы в центнерах,

Lf = часы работы, выделенные на ловлю рыбы.

Производственная функция сбора бананов равна:

С=Lc1/2,

где С - объем бананов в центнерах,

Lc - число часов труда, выделенных на сбор бананов.

Функция полезности Робинзона составляет:  U=[FC]1/2

Каким образом Робинзон должен распределить часы работы между двумя видами деятельности в замкнутой экономике ? С учетом торговли с соседними островами, если отношение цен равно центнера рыбы к центнеру бананов составляет Рf/Pc=2/1?

Ответ:

1). Робинзон решает задачу на максимизацию функции полезности при бюджетном ограничении в виде совокупного объема труда, который он может выделить для двух видов деятельности.

Заменим объемы труда, посвящаемые ловле рыбы и сбору бананов, через значения продукта - объемы рыбы и бананов, получаемые через производственную функцию:

L=Lf+Lc = F2+C2=200

Запишем функцию Лагранжа:

L=[FL]1/2 + l(200-F2-C2) - max

Откуда через решение системы уравнений условий первого порядка мы получаем равновесные значения

объема выловленной рыбы: F*=10

объема собранных бананов: C*=10

труда, затраченного на ловлю рыбы: Lf=100

труда, затраченного на сбор бананов: Lc=100

2). Наличие торговли с соседними островами позволяет расширить объемы потребления обоих продуктов через перераспределение затрат труда между двумя видами деятельности. Для нахождения оптимального объема торговли рассмотрим по отдельности равновесия Робинзона в производстве и в потреблении при условии, что в качестве бюджетного ограничения выступает линия цен - соотношение между ценами двух товаров в торговле.

 Равновесие экономики Робинзона в производстве определяется условиями производственной функции и торговли:

F2+C2=200

Pf/Pc=2/1

Откуда получаем равенство предельной нормы замещения двух товаров в производстве и в торговле (предельной нормы трансформации):

MRTCF = F/C = MPc/MPf = Pc/Pf

MPc=Lc' = 2C

MPf=Lf' = 3F

F/C=2

F=2C

Подставляем выражение для сбора бананов в функцию распределения труда:

4C2+C2=200

Получаем равновесный объем производства бананов:

C* = 6

и рыбы:

F* = 12.

Равновесие экономики Робинзона Крузо в потреблении определяется равенством предельной нормы замены рыбы бананами в потреблении и в торговле:

MUf/MUc = Pf/Pc

где

MUf = U/F = C1/2 / [2F1/2]

MUc = U/C = F1/2 / [2C1/2]

Подставляем значения предельных полезностей и уровня цен

C/F = 2

C = 2F

Решаем задачу на максимизацию полезности, учитывая, что в качестве бюджетного ограничения можно использовать тот уровень дохода, который Робинзон получает от продажи выловленной рыбы и собранных бананов по ценам торговли:

6Pc + 12Pf = Pc*C+Pf*F = M = 6+24=30

C+2F=30

4F=30

Получаем равновесный объем потребления рыбы:

F* = 7,5

и бананов:

C* = 15.

Найдем объем торговли товарами как разницу между произведенным и потребленным количеством.

Объем торговли рыбой равен:

F=12-7,5=4,5

Объем торговли бананами равен:

C=6-15=(-9)

Положительное значение определяет, что Робинзон продает данный товар (рыбу), отрицательное значение свидетельствует о том, что Робинзон покупает этот товар (бананы).

Вопросы для повторения:

Каким образом общее равновесие в экономике можно представить в виде ящика Эджуорта?

Каким образом анализ общего равновесия с помощью ящика Эджуорта видоизменяется, если речь идет о монополии в потреблении? В производстве?

Какую роль играют теоремы благосостояния?

Как достигается общее равновесие потребителей в экономике обмена? Какие условия при этом должны быть выполнены?

Как достигается общее равновесие в экономике с производством? Какие условия при этом должны выполняться?

Как формируются коалиции обмена в экономике обмена?

К чему приводят неравновесия в экономике обмена? В экономике с производством? В экономике с наличием внешней торговли?

Каким образом наличие монопольного потребителя и/или монопольного производителя и/или монопольного поставщика ресурса видоизменяется результаты общего равновесия?

Какую роль играют рыночные цены в достижении общего равновесия?

Каким образом получается кривая производственных возможностей общества? Кривая контрактов? Кривая потребительских возможностей общества? Функция совокупной полезности общества?

Задачи и упражнения для самостоятельной работы:

1. Рассмотрим экономику, состоящую из 2М+1 потребителей. Пусть М потребителей владеют только правыми ботинками, а М+1 индивидов – только левыми ботинками. Ботинки представляют собой неделимый товар, их можно использовать только в целых числах. Предпочтения всех потребителей одинаковы и представлены следующей функцией полезности:

U(R, L) = min{R, L}

где R – правые ботинки; L – левые ботинки.

Покажите, что любое распределение ботинков, при котором К возможных пар соответствуют друг другу, то есть оба ботинка принадлежат одному и тому же индивиду, является Парето-оптимальным. Какие Парето-оптимальные распределения относятся к ядру данной экономики? Если РR и РL – цены правого и левого ботинка соответственно, каким будет равновесие по Вальрасу в данной экономике? Какая связь существует в данной экономике между ядром и равновесием по Вальрасу?

2. В экономике существует две группы потребителей. Известно, что предельная норма замещения товара 2. В экономике существует две группы потребителей. Известно, что предельная норма замещения товара Y товаром Х для первой группы равна: MRS1 = Y1/X1

Для второй группы потребителей соответствующая норма составляет: MRS2 = Y2/X2

Первоначально в распоряжении первой группы потребителей находится 100 единиц товара Y и 10 единиц товара Х, в распоряжении второй группы потребителей – 20 единиц товара Y и 50 единиц товара Х. Цена единицы товара Х составляет 1 тыс. руб., цена единицы товара Y – 2 тыс. руб. Находится ли рынок в равновесии? Каким должно быть равновесное отношении цен в данной экономике?

3. Робинзон Крузо может распределить 100 часов работы  между ловлей рыбы и собиранием кокосов. Производственная функция ловли рыбы равна: Х = LX1/2 , где Х – число пойманных рыб; LX – количество часов, посвященных этому занятию.

Производственная функция собирания кокосов равна: Y = ¼ LY1/2 , где Y – количество собраных кокосов; LY – количество часов, посвященных этому занятию.

Робинзон Крузо может получить удовольствие от потребления кокосов и рыбы согласно своей функции полезности: U(X, Y) = XY.

Какое оптимальное количество рыбы и кокосов необходимо Робинзону добыть для максимизации собственного благосостояния?

Известно, что на этой неделе Робинзон выловил 4 рыбы и собрал 5 кокосов. Является ли это распределение оптимальным для него? Каким образом Робинзон может измерить степень неоптимальности своего распределения?

Через неделю Робинзон встретил туземцев с соседнего острова, которые предложили  ему обменивать рыбу и/или кокосы в соответствии с принятым соотношением цен: PX/PY = 2/1.

Стоит ли Робинзону соглашаться? Если Робинзон все-таки согласиться, в каком объеме от будет покупать и/или продавать рыбу и кокосы? Каковы будут выигрыши (если будут...) Робинзона от торговли?

4. Функции полезности двух потребителей равны: U1,2 = X1/2Y1/2. Общий объем товара Х в экономике составляет величину А, общий объем товара Y в экономике составляет величину В. Известно, что производственная функция товара Х имеет вид: Х = kLX , где LX – объем труда, выделяемый обоими индивидами на товар Х. А производственная функция товара Y – cледующий вид: Y = mLY, где LY – объем труда, выделяемый обоими индивидами на товар Y.

Общий объем труда, который индивиды могут себе позволить, составляет величину К.

Написать функции контрактной кривой, кривой производственных возможностей и кривой потребительских возможностей для данной экономики.

5. Микки-Маус располагает двумя заводами по производству роликовых коньков. Производственные функции каждого завода одинаковы и равны: q1, 2 = K1/4L3/4.

Первый завод имеет в своем распоряжении 16 единиц капитала, второй – 81. Микки-Маус может нанять 80 человеко-часов в неделю. Каким образом следует Микки-Маусу распределить труд между своими заводами? Советник Микки-Мауса считает, что целесообразно распределить человеко-часы поровну между заводами. На сколько эффективной является такая политика? На какую величину может возрасти выпуск фирмы «Микки-Маус и К», если фирма перейдет от равного распределения труда между заводами к эффективному? (Примечание: объемы капитала на заводах фиксированы и не могут быть изменены).

6. Нарисуйте в ящике Эджуорта контрактную кривую для следующих типов потребителей:

U1, 2 = X + Y

U1 = X; U2 = Y

U1, 2 = min {2X, Y}

U1 = min {2X, 5Y}; U2 = 2X + 5Y

U1, 2 = X2 + Y2

7. Винни-Пух и Кролик оказались на необитаемом острове. У каждого есть небольшое количество меда (М) и хлеба (Х). Винни-Пух очень разборчивый в еде: он ест мед и хлеб только в строго фиксированных пропорциях, две ложки меда и один кусок хлеба. Кролик более гибкая натура в отношении еды. Его функция полезности равна: U(K) = 5M + 3Х. Известно, что всего у Винни-Пуха и Кролика оказалось меда ровно на 100 ложек и запаса хлеба на 200 кусков. Каким будет выглядеть экономика обмена для сообщества Винни-Пуха и Кролика (использовать ящик Эджуорта)? При каком соотношении цен Винни-Пух и Кролик с помощью обмена смогут улучшить свое благосостояние, если первоначально Винни-Пух располагал медом на 40 ложек и хлебом на 60 кусков? Каким будет равновесие в данной экономике? А если первоначально Винни-Пух располагал медом на 60 ложек и хлебом на 80 кусков, какие выгоды от обмена сможет от получить? Каким будет в этом случае конкурентный уровень цен? Выиграет ли Кролик что-либо от обмена?

Предположим, Винни-Пух – более сильный, чем Кролик, и решает нарушить правила игры. Каким будет тогда окончательное равновесие в экономике?

8. Предположим, в экономике действуют два потребителя с одинаковыми функциями полезности типа Кобба-Дугласа. Рассмотрите последствия обмена и уровень равновесных цен в следующих случаях:

оба потребителя не могут оказывать влияния на рыночную цену;

один из потребителей обладает монопольной властью, а другой – нет;

один из потребителей обладает монопольной властью и проводит политику ценовой дискриминации;

оба потребителя обладают определенной степенью монопольной власти на рынке.

В каких случаях будет достигнуто Парето-оптимальное состояние?

Если мы рассмотрим не двух потребителей, а двух производителей, в чем будут заключаться особенности вашего ответа на предложенные вопросы?

9. Известно, что в экономике действуют две группы потребителей, потребители типа А и потребители типа В. Для потребителей типа А предпочтения можно выразить в виде функции полезности: UA = X2/3Y1/3,  где X и Y – товары, производимые в данной экономике.

Для потребителей типа В предпочтения можно выразить в виде такой функции полезности:

UB = X1/3Y2/3

Первоначально каждая группа потребителей располагает одинаковыми наборами в виде 500 единиц первого товара и 500 единиц второго товара.

Требуется выразить спрос каждой группы потребителей на товары X и Y как функцию цен этих товаров (PX и PY) и первоначального набора.

Вычислить равновесный уровень цен для данной экономики, если потребители не могут оказывать влияние на цену. Каков равновесный уровень потребиления каждой группы индивидов каждого товара?

Вывести кривые предложения каждого товара каждой группой потребителей. Каким будет уровень цен в точке их пересечения? Согласуется ли этот уровень цен с равновесным уровнем цен, полученным при ответе на предыдущий вопрос?

Как изменятся ответы на выше приведенные вопросы при первоначальном наборе (500; 500) у каждой группы потребителей, если потребители типа А обладают монопольным правом назначать цену на товары?

10. Проанализировать, каким образом изменение предпочтений общества и/или технических прогресс в производстве одного товара (обоих товаров) окажут воздействие на равновесие в экономике с учетом производства? На вид и местоположение производственной кривой контрактов? На вид и местоположение результирующей кривой производственных возможностей общества?