2.1. Предпочтения потребителя.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 

Основные типы задач с решениями:

Задача 1

Какая аксиома поведения потребителя нарушается в следующих случаях:

 Ребенок не знает, какую игрушку ему выбрать в магазине;

 Утверждение: "Данная работа является для меня абсолютной ценностью. Я ее не поменяю ни за что на свете".

Президент фирмы, торгующей ценными бумагами, дал указание своему брокеру: "ГКО лучше акций компании К; акции компании С хуже акций фирмы К; облигации банка Х лучше ГКО, а акции компании Д хуже акций компании С". В тот день на рынке ценных бумаг были представлены только акции компании С и ГКО. Брокер купил акции компании С.

Монах Тибетского монастыря удовольствуется чашкой риса и стаканом воды в день;

Вороне один кусочек сыра приносит удовольствие в размере 100 утилей (условных единиц полезности); два кусочка сыра дают ей полезность в размере 220 утилей; 4 кусочка – 500 утилей; 6 кусочков – 800 утилей; 8 кусочков – 1200 утилей; 10 кусочков – 1800 утилей;

Вере все равно прослушать 10 лекций по микроэкономике и 20 лекций по макроэкономике или 20 лекций по микроэкономике и 10 лекций по макроэкономике. Однако она заявляет, что 15 лекций по микроэкономике вместе с 15 лекциями по макроэкономике хуже, чем какой-либо из предыдущих вариантов.

На вопрос анкеты “Что Вы предпочитаете; “Пепси-Колу” или “Коку-Колу?” в ходе маркетингового исследования рынка прохладительных напитков респондент ответил; “Не могу сделать выбор”.

Ответ:

в этой ситуации нарушается аксиома полноты, которая предполагает, что потребитель всегда способен сделать выбор, каким-либо образом оценить все многообразие товаров, которые попадают в сферу его внимания;

нарушается предпосылка сравнимости товарных наборов, экономический смысл которой заключается в том, что у любого блага есть заменители, полезности всех благ без исключения являются соизмеримыми, нет абсолютных ценностей в мире потребления;

нарушается аксиома транзитивности выбора. При данном ранжировании предпочтений брокер должен был бы купить ГКО;

нарушается аксиома ненасыщенности, согласно которой увеличение количества какого-либо товара в наборе ведет к возрастанию полезности набора, так что потребитель всегда будет стремиться к получению все большего количества товаров;

не выполняется предпосылка об убывании предельной полезности товара с возрастанием его количества в потреблении. Здесь же, как легко убедиться, предельная полезность дополнительного кусочка сыра возрастает:

MU1=100; MU2=120; MU3=140; MU4=150; MU5=200; MU6=300;

нарушается утверждение о выпуклости функции полезности к началу координат, согласно которой средневзвешенные (пропорциональные) значения товарных наборов предпочитаются крайним;

аналогично ситуации a) нарушает принцип сравнимости товарных наборов (упорядоченности предпочтений), поскольку потребитель не может сделать выбора между двумя товарами.

 

Задача 2

Привести примеры и представить графически и аналитически все основные виды предпочтений.

Ответ:

Товарный набор со стандартными предпочтениями (удовлетворяющими аксиомам  ординалистской теории полезности).

Пример: хлеб и вода; стол и диван; автомобиль и холодильник.

Аналитическое представление. Невозможно привести аналитического выражения, описывающего все возможные предпочтения, удовлетворяющие аксиомам теории потребительского выбора, однако в качестве типичного примера обычно рассматривают функцию полезности типа Кобба-Дугласа. Ее наиболее общее представление для случая 2-х переменных:

U=A×xy

где x и y — количества товаров;

A, и — положительные параметры.

Графическое изображение:           

 

 

Стрелками указано направление возрастания совокупной полезности товарного набора.

Комментарии: предпочтения типа Кобба-Дугласа являются гомотетичными, то есть предельная норма замещения зависит только от соотношения товаров в наборе, а не от абсолютной величины товарных объемов. Поэтому кривые безразличия как бы “параллельны” друг другу, что дает возможность на основе исследования одной кривой делать вывод о поведении потребителя в целом.

Взаимозаменяемые товары (совершенные субституты).

Примерами могут служить товары, замещаемые в постоянной пропорции: колбаса и сосиски; ручка и карандаш; велосипед и мотоцикл

Аналитическое представление:

U=a×x+b×y,

где a и b — положительные параметры.

Графическое изображение:

 

 

Комментарий: по определению кривые безразличия представляют собой отрезки прямых, задаваемых уравнениями const=a×x+b×y. Таким образом, тангенс угла наклона любого отрезка равен (–a/b) и зависит от степени заменяемости товаров, задаваемых параметрами a и b. Например, товарный набор «одна палка колбасы и четырнадцать сосисок» даст угол наклона (-1/14). На рисунке представлен случай a = b = 1.

Взаимодополняемые товары (совершенные комплементы).

Примерами могут служить товары, потребляемые вместе ив постоянной пропорции: стул и стол; правая и левая перчатка; фотоаппарат и фотопленка, плеер и 2 батарейки.

Аналитическое представление:

U=min(ax;by),

где a>0; b>0 — параметры.

Графическое изображение:           

Комментарий: угловые точки всех кривых безразличия лежат на луче, выходящем из начала координат под углом, который определяется пропорцией в которой потребляются товары. Действительно, в угловой точке не наблюдается избытка ни одного товара, то есть ax=by, следовательно, y/x=a/b. Например, один стол и два стула; две сосиски и три кусочка хлеба.

Квазилинейные предпочтения

Пример: мясо и соль (линейный товар); карандаш (нелинейный товар) и бумага; книга и закладка (нелинейный товар).

Аналитическое представление: U=v(x)+y. В этом случае функция полезности линейна по товару y, а v(x) — нелинейная часть.

Графическое изображение:

 

 

Комментарий: один из вариантов экономической интерпретации квазилинейных предпочтений заключается в следующем: линейная часть представляет собой товар, который потребляется в относительно больших количествах по сравнению с нелинейным товаром, потребление которого практически не изменяется (изменяется сравнительно незначительно) при росте потребления второго товара.

 Благо и антиблаго.

Пример: промышленное производство и отходы; свежие и гнилые помидоры; творог и шоколад, если шоколад вызывает аллергию.

Аналитическое представление: простейшим вариантом может служить линейная функция

U=a×x–b×y,

где a и b — положительные параметры.

В этом случае товар× x является благом, а y — антиблагом.

Графическое изображение:           

 

 

Комментарий: только на основании графика нельзя сказать, какой из товаров является антиблагом; характеристика товара определяется (задается) направлением изменения совокупной полезности. В данном случае полезность товарного набора потребителя возрастает при увеличении объема  x и при сокращении объема  y (что и показывают стрелки на графике).

Строгое предпочтение (нейтральное благо).

Пример: яблоки и груши, если потребитель предпочитает яблоки и равнодушен к грушам.

Аналитическая формула:

U=y,

здесь y является предпочитаемым;

а x— нейтральным (безразличным) товаром.

Графическое изображение:

 

 

Комментарии: нейтральность товара определяется его относительной ненужностью в товарном наборе при сопоставлении с другим товаром. Примером может служить набор из шариковой ручки и чернильницы; духов и билетов на футбол для мужчин (и для женщин, не любящих футбол); сигареты и табачная трубка.

Предпочтения с точкой насыщения (точкой блаженства).

Пример: пирожные и шоколадные конфеты, если потребитель удовлетворен (насыщен) в результате потребления 3-х пирожных и 10 шоколадных конфет.

Аналитическое представление:

U=c–[(x–a)2+(y–b)2],

где  x и  y — потребляемые товары;

a и  b — координаты точки насыщения (объемы товаров x и y, которые приводят потребителя к максимальному удовлетворению);

 c — максимальная полезность, соответствующая точке насыщения.

Графическое изображение:

 

Несовместимые товары

            Пример: мороженное и кислая капуста; шоколадные конфеты и соленые огурцы; дискотека и театральный спектакль.

Аналитическая формула:

U=x2+y2,

где  x и  y — потребляемые товары.

Графическое изображение:

 

 

Набор с дискретным (неделимым) товаром

Пример: автомобиль и все остальные товары; театральный спектакль и свободное время.

Аналитическая формула: U=f(x;y), x N.

Графическое изображение:

 

 

Лексикографическое предпочтение (алфавитное упорядочивание).

Пример: ручки и карандаши, причем потребитель предпочитает набор с большим количеством ручек, независимо от количества карандашей, и набор с большим количеством карандашей при одинаковом количестве ручек. Другим примером могут служить предпочтения наркомана, для которого привлекательность товарного набора определяется в первую очередь количеством содержащегося в нем наркотика и только при равных количествах наркотика критерием выбора становится количество продуктов питания, одежды и т.д.

Аналитическое представление в случае 2-х товаров:

U(x1;y1)>U(x2;y2),

если  x1>x2

или  x1=x2 и  y1>y2.

Графическое изображение:

 

 

Комментарии: множеством элементов предпочитаемых набору (x1;y1) является полуплоскость, расположенная правее и луч над этой точкой. Для лексикографических предпочтений не выполняется предпосылка непрерывности предпочтений.

 

Задача 3

Какова особенность монотонной трансформации?

Ответ:

Монотонная трансформация не изменяет порядок предпочтений: если набор А был предпочтительнее набора В до трансформации, то после монотонной трансформации набор А по-прежнему будет предпочитаться потребителей, несмотря на то, что количественное выражение полезности наборов изменилось в результате трансформации. Поэтому в аналитическом плане можно работать не с самой функцией полезности (если это затруднено), а с ее монотонной трансформацией.

 

Задача 4

Какие виды преобразований можно отнести к монотонной трансформации?

Ответ:

К монотонной трансформации можно отнести следующие виды монотонных положительных преобразований:

            - логарифмирование;

            - сложение функций;

            - прибавление (вычитание) постоянной;

            - возведение в нечетную степень для всех значений функции полезности и возведение в четную степень для положительных значений функции полезности;

            - извлечение корня.

 

Задача 5

1) Дайте определение предельной нормы замещения в потреблении? Покажите, каким образом связаны предельная норма замещения в потреблении и предельные полезности товаров? 2) Какова динамика предельной полезности по мере увеличения количества потребляемого блага? Объясните (качественно) как эта закономерность связана с предпосылкой об убывании предельной нормы замещения при движении вдоль кривой безразличия?

Ответ:

Рассмотрим определение предельной нормы замещения товара y товаром x в потреблении (в дифференциалах):

 

 


 

 


Предельная норма замещения товара y товаром x показывает, какое количество товара y потребитель готов отдать, чтобы получить единицу товара x, при условии, что совокупная полезность товарного набора для потребителя не изменяется. Аналитически это означает, что полный дифференциал функции полезности потребителя равен нулю:

 

 


Здесь MUx и  MUy — предельные полезности товаров  x и y. Откуда путем преобразований получаем:

 

 

 


Так как правая часть по определению есть предельная норма замещения, то мы можем записать:

 

Данная аналитическая формула показывает, как предельная норма замещения двух товаров в потреблении может быть выражена через предельные полезности этих товаров.

2) Предельная полезность убывает по мере увеличения потребляемого блага. Эта закономерность известна как «закон убывания предельной полезности» или 1-ый закон Госсена и является основой кардиналистской теории полезности. Отказ от количественного измерения полезности потребовал заменить закон убывающей предельной полезности, поскольку она также неизмерима. При этом должно быть введено такое допущение о предпочтениях, которое бы совпадало с наблюдаемыми эффектами поведения потребителей и было «ординалистским» по природе. Для двух продуктов таким допущением служит закон убывающей нормы замещения. При движении вдоль кривой безразличия в направлении возрастания x и убывания у  предельная полезность товара x уменьшается — числитель формулы, а предельная полезность у увеличивается — знаменатель формулы, то есть предельная норма замещения двух товаров убывает. Напомним, что утверждение об убывании предельной нормы замещения в потреблении эквивалентно утверждению о выпуклости кривых безразличия к началу координат.

 

Задача 6

Вывести предельные нормы замещения в потреблении для  видов предпочтений, рассмотренных в задаче 2.

Ответ:

Стандартные предпочтения (на примере функции Кобба-Дугласа).

Функция полезности типа Кобба-Дугласа: U=xy

Предельную норму замещения будем находить как отношение предельных полезностей двух товаров. Предельная полезность товара есть частная производная первого порядка функции полезности по отношению к объему данного товара. Следовательно, получаем:

 

 


Взаимозаменяемые товары (совершенные субституты). Рассчитывая аналогично 1) получим MRSxy=a/b=const, что соответствует определению товаров совершенных заменителей. Заметим, что закон убывания предельной полезности для предпочтений этого вида не выполняется.

Взаимодополняемые товары (совершенные комплементы). Для предпочтений этого типа, строго говоря, невозможно найти предельную норму замещения в любой точке на кривой безразличия, так как в угловой точке формально нельзя взять производные. Предел производной по одному товару будет равен нулю, по другому – бесконечности. Однако для приблизительного представления о замещении двух товаров можно воспользоваться экономическим смыслом данного набора. Если товары дополняют друг друга в потреблении, то заменить один товар другим не представляется возможным. Поэтому можно считать, что с экономической точки зрения, предельная норма замещения равна нулю.

Квазилинейные предпочтения. Функция полезности, как мы определили, равна: U=v(x)+k×y.

Так как предельная полезность линейного товара постоянна и равна k (в частном случае k=1 — равна единице), то предельная норма замещения будет функцией лишь одной переменной — объема потребления нелинейного товара:

 

 


Благо и антиблаго.

Используя для расчета предельные полезности, в общем случае можем заключить, что предельная норма замещения будет отрицательной MRSxy<0, поскольку предельная полезность антиблага отрицательна. Это означает, что увеличение объема антиблага в товарном наборе потребителя не изменяет совокупную полезность набора, только если объем блага также возрастет, чтобы компенсировать отрицательное приращение полезности от антиблага. Это означает, что кривые безразличия пары благо-антиблаго всегда имеют положительный наклон, заключения о выпуклости сделать нельзя.

Строгое предпочтение (нейтральное благо).

Предельная норма замещения предпочитаемого товара нейтральным благом равна нулю, так как полезность нейтрального товара не представляет ценности для потребителя: MRSxy=0, здесь y является предпочитаемым; а  x— нейтральным (безразличным) товаром.

Предельная норма замещения нейтрального товара предпочитаемым благом составляет сколь угодно большое положительное число, поскольку потребитель готов пожертвовать чем угодно для получения предпочитаемого товара, то есть MRSyx=+

Предпочтения с точкой насыщения (точкой блаженства).

Поведение предельной нормы замещения удобнее рассматривать по квадрантам (в соответствие с рисунком к задаче 2), используя обычное правило. Квадранты II и IV соответствуют случаю «благо-антиблаго», рассмотренному выше. В квадранте I мы имеем стандартные кривые безразличия. В квадранте III предельная норма замещения ведет себя аналогично случаю несовместимых товаров. В точке насыщения предельная норма замещения не существует, так как потребитель готов использовать два товара только в определенной пропорции, дающей ему наибольшую полезность, он не может заменить один товар другим. Пока точка насыщения не достигнута, потребитель может заменять один товар другим в зависимости от того, какого товара больше в наборе. При достижении точки насыщения товары становятся взаимодополняемыми и необмениваемыми друг на друга.

Несовместимые товары.

Предельная норма замещения несовместимых  товаров положительна, но возрастает с ростом объема потребления одного из товаров, поскольку при увеличении количества одного из несовместимых товаров в наборе потребителю необходимо дать большую компенсацию в виде количества другого блага, так чтобы совокупный уровень полезности товарного набора не изменился. Другим словами, при прочих равных условиях, потребитель предпочтен крайние наборы (состоящие только из одного товара, независимо от того, какого) среднему набору (включающему комбинации двух товаров, совместное потребление которых нежелательно).

Дискретный товар.

Предельная норма замещения (определяемая через приращения) для набора, включающего неделимый товар, будет представлять собой целое число. В данном случае невозможно найти предельную норму замещения через производные (так как функция полезности не является непрерывной).

Лексикографическое упорядочивание.

Вопрос не имеет смысла, так как непрерывность предпочтений является необходимым условием существования функции полезности. Поскольку в силу особенностей построения лексикографические предпочтения не являются непрерывными, то для такого упорядочивания не существует функции полезности, а, следовательно, рассчитать предельную норму замещения невозможно.

Вопросы для повторения:

Чем определяется наклон кривых безразличия? Почему кривые безразличия не могут пересекаться?

Сформулируйте 1-ый и 2-ой законы Госсена. Приведите их аналоги в ординалистской теории полезности.

Приведите 4 основных свойства кривых безразличия и покажите следствием каких аксиом и предпосылок теории потребительского выбора они являются.

Дайте определение квазивыпуклости функции полезности. Какой экономический смысл имеет это свойство?

Покажите, что монотонная трансформация не изменяет величину предельной нормы замещения?

В каких единицах измеряется предельная норма замещения в потреблении?

Каков экономический смысл выпуклости кривых безразличия к началу координат? Каковы ее последствия при решении задачи потребительского выбора?

Дайте определение однородной функции. Какие свойства имеет карта кривых безразличия однородной функции?

Являются ли квазилинейные предпочтения гомотетичными? Докажите.

 


Задачи и упражнения для самостоятельной работы

 

1. Проверить, что для функции полезности Кобба-Дугласа выполняются все аксиомы отношений предпочтений.

2. Нарисовать карту кривых безразличия для следующих пар товаров:

Солнце и электрический свет

Цветы и конфеты для влюбленного

Цветы и конфеты для торговца мороженым

Цветы и конфеты для торговца конфетами

Курение в комнате и шум на улице

Одна и та же книга в твердом и в мягком переплете

3. Каким образом будут выглядеть кривые безразличия для следующих потребителей:

Студента Миши, который безразличен к молочному шоколаду и никогда не покупает молочные шоколадки, но очень любит горький шоколад – готов питаться одним горьким шоколадом.

Студенки Вики, которая обожает рок музыку и не любит занятий по микроэкономике: она готова посетить еще одну лекцию по микроэкономике, только при условии, что ей подарят еще один диск с записью рок-музыки.

Профессора Степанова, который вечерами любит выпить джин с тоником в пропорции 2:1 и никак иначе.

Доцента Хлебникова, который на обед всегда покупает булочки и сметану, но готов уступить одну булочку в обмен на стакан сметаны, две булочки в обмен на полтора стакана сметаны и три булочки в обмен на два стакана сметаны.

Аспирантки Кати, которая любит проводить время в компании либо профессора Степанова, либо доцента Хлебникова, но никак не одновременно с обоими!

Школьницы Маши, которая в равной степени любит и петь и танцевать и никак не может выбрать, в какой кружок ей записаться.

4. Покажите, являются ли гомотетичными предпочтения

типа Кобба-Дугласа?

совершенные субституты?

квазилинейные?

5. Являются ли монотонными трансформациями следующие преобразования некой функции U=f(x;y):

a) F1=5U+10;

b) F2=U2;

c) F3=U3;

d) F4= –10/U2;

e) F5=ln U – 1;

f) F6=ln U – x

6. Напишите все возможные виды монотонной трансформации для:

Функции полезности Кобба-Дугласа;

Квазилинейных предпочтений;

Совершенных взаимозаменяемых товаров;

Блага и антиблага;

Предпочтения с нейтральным товаром.

7. К каким видам предпочтений относятся следующие виды функции полезности:

            - U1 = 0,5lnX1+0,5lnX2

            - U2 = X1+10X2+5

            - U3 = X12+2X1X2+X22

            - X2 = U4/X1

            - U5+k = [X1+X2]1/2

8. Придумайте ситуации, для которых данные товары характеризовали бы разные виды предпочтений:

            - книги

            - отдых у моря

            - акции

            - апельсиновый сок

            - цветы

            - луна

            - информация

            - медицинская страховка

9. Почему потребитель склонен диверсифицировать свои расходы, а не тратить весь доход на один и тот же товар? Доказать аналитически с использованием теории поведения потребителя.

10. Покажите аналитически достаточно ли для убывания предельной нормы замещения выполнения закона убывающей предельной полезности? Приведите интерпретацию (экономический смысл) дополнительного условия. Можете ли привести примеры его нарушения?