2.2. Выбор потребителя

Основные типы задач с решением.

Задача 1

Представить графически и аналитически бюджетное ограничение. Каковы основные характеристики бюджетного ограничения?

Ответ:

Бюджетное ограничение можно представить в виде линии цен:

РХ*X + PY*Y = I

где РХ и РY - рыночные цены товаров;

X и Y - величины спроса потребителя на товары;

I - доход, который потребитель готов потратить на данные два товара.

Или по-другому бюджетное ограничение можно выразить как:

Y = I /PY - PX/PY*X

Откуда получаем основные характеристики бюджетного ограничения:

- I /PY - точка пересечения линии цен с осью Y;

- I /PX - точка пересечения линии цен с осью Х;

- (-PX/PY) - наклон бюджетного ограничения, показывает относительный уровень цен двух товаров.

Графически бюджетное ограничение выглядит так:

               

Бюджетное ограничение делит товарное множество на два подмножества: справа от линии цен находится область товарных наборов, недоступных для потребителя при данном уровне цен и дохода; слева расположена область допустимых товарных наборов потребителя.

Задача 2

Пусть предпочтения потребителя описываются функцией полезности Кобба-Дугласа: U=X×Y. Известно, что цена единицы товара Х равна 2 руб., а цена единицы товара Y равна 4 руб. Потребитель имеет возможность потратить на приобретение товаров 100 руб. Определите, какое количество каждого товара купит рациональный потребитель? Какой при этом будет достигнут уровень полезности? Какова будет предельная полезность рубля для нашего потребителя?

Ответ:

Для нахождения оптимального товарного набора потребителя используем метод Лагранжа. Задача максимизации целевой функции (в данном случае функции полезности) при наличии ограничения (в данном случае бюджетного ограничения: 100=2X+4Y) заменяется задачей нахождения максимума искусственно создаваемой функции Лагранжа. Построим функцию Лагранжа для нашей задачи:

L=X×Y+×(100–2X–4Y)

Выпишем следующие условия первого порядка для нахождения максимума:

Заметим, что последнее выражение всего-навсего повторяет бюджетное ограничение. Перенося слагаемые с l в правые части первого и второго уравнений, мы имеем:

Y=2l

X=4l.

Откуда получаем, что потребление товаров в точке оптимума связано соотношением:   X=2Y.

Подставляем в бюджетное ограничение:

100=4Y+4Y=8Y

 и находим равновесные значения:

Y*=12,5; X*=25.

 Таким образом, набор (X*=25; Y*=12,5) является оптимальным выбором потребителя, такое количество X и Y купит рациональный потребитель при данных ценах и данном уровне дохода. Максимальный уровень полезности составит

maxU=X*×Y*= 312,5.

Мы можем найти также значение множителя Лагранжа —l в точке оптимума:

* = Y*/2 =6,25.

Это значение говорит о том, что каждый дополнительный рубль при оптимальном использовании принесет потребителю дополнительно 6,25 единиц полезности.

 

Задача 3

Что такое рыночная норма замещения (предельная норма замещения в обмене)? В чем заключается ее отличие от предельной нормой замещения двух товаров в потреблении? В каких случаях они равны?

Ответ:

Рыночная норма замещения — другое название: предельная норма замещения товара Y товаром X в обмене (MRSE — Marginal Rate of Substitution in Exchage) — характеризует собой пропорцию, в которой потребитель в действительности (на данном рынке) может обменивать товар Y на товар X. Эта пропорция определяет соотношением цен на товары: PX/PY. Действительно, именно относительная цена товара X показывает сколькими единицами товара Y должен пожертвовать потребитель, чтобы приобрести на рынке дополнительную единицу товара X.

Если вспомнить о бюджетном ограничении потребителя 

Рх×Х+РY×Y  I ,

то можно добавить, что рыночная норма замещения определяет угол наклона бюджетной линии.

Другая интересующая нас характеристика — предельная норма замещения товара Y товаром X в потреблении (MRSC — Marginal Rate of Substitution in Consumption) показывает количество  товара Y, которое потребитель готов уступить, чтобы получить дополнительную единицу товара Х при сохранении прежнего уровня полезности. Таким образом, MRSC представляет собой индивидуальную норму замещения.

Обычно используется сокращенное обозначение MRSXY, где вторым индексом указывается товар, который потребитель готов отдать (в данном случае, товар Y), а вторым — товар, который потребитель хочет получить (в данном случае, товар X). На графике наклон кривой безразличия в данной точке равен предельной норме замещения или по-другому MRSXY определяет угол наклона касательной к кривой безразличия в данной точке.

В общем случае предельные нормы замещения  в потреблении и в обмене не равны. Однако так как условием равновесия потребителя является касание кривой безразличия и бюджетного ограничения, то в точке оптимума наклоны кривой безразличия и линии бюджетного ограничения совпадают, следовательно, предельная норма  замены двух товаров в потреблении оказывается равной предельной норме замены в обмене:

MRSCXY=MRSEXY

Или тоже условие в более привычной форме:

MRSXY=PX /PY

Поскольку предельная норма замещения в потреблении характеризует внутреннюю готовность потребителя пожертвовать одним товаром для получения другого товара (готовность как таковую), а рыночная норма замещения есть внешняя оценка двух товаров рынком, неравенство двух норм означает неравновесное состояние потребителя. Один из товаров он переоценивает, а другой соответственно недооценивает. Поэтому неравенство норм ведет к пересмотру потребителем соотношения товаров в потребляемом наборе.

Задача 4

Функция полезности индивида имеет вид: U=с–[(X–10)2+(Y–5)2]. Цена единицы товара Х равна 2 руб., цена товара Y — 1 руб. Потребитель может потратить на эти два товара не более 100 руб. Решите задачу максимизации полезности потребителя при известном доходе (определите координаты точки равновесия потребителя и максимальный уровень полезности). Приведите графическую иллюстрацию.

Ответ:

Прежде всего, необходимо отметить, что предпочтения потребителя не являются стандартными (не соответствуют предпосылкам ординалистской теории полезности). Предпочтения подобного вида характеризуют потребителя, у которого есть точка блаженства (точка насыщения) — единственный набор товаров, которые обеспечивает максимум полезности. В этом случае можно предложить следующий алгоритм решения задачи:

Аналитически или графически определить, доступна ли точка блаженства (точка насыщения) при данном уровне дохода.

Если точка блаженства принадлежит бюджетному множеству, то задача фактически решена — максимум полезности потребитель получит в точке насыщения. Если доход потребителя недостаточен, то для решения задачи нахождения оптимума можно воспользоваться стандартными инструментами анализа, поскольку в первом квадранте предпочтения с точкой насыщения ведут себя как стандартные. Например, можно воспользоваться методом Лагранжа и как обычно достаточно будет обеспечить только выполнение необходимого условия (первого порядка), поскольку в первом квадранте функция полезности непрерывна и монотонно возрастает, а кривые безразличия строго выпуклы к началу координат.

Из условия задачи выпишем

бюджетное ограничение: 100=2X–Y;

и координаты точки насыщения (фокус эллипса): (Xн=10 ;Yн=5)

В общем виде условие доступности точки насыщения выглядит следующим образом:

I³Рх×Хн+РY×Yн,

здесь Xн и Yн — координаты точки насыщения,

Рх и РY — цены на товары ×Х и Y соответственно,

 I —уровень дохода потребителя.

Подставив данные задачи, получим неравенство:

100 ³ 2Xн+Yн  или 100 ³ 25,

которое является истинным, то есть точка насыщения лежит под бюджетным ограничением (этот результат легко получается и на графике). Таким образом оптимальным набором является набор насыщения

(Xн=10 ;Yн=5),

а максимальный уровень полезности, достигнутый потребителем составит c. Заметим, что в такой ситуации потребитель получит свой набор насыщения и останется с дополнительным количеством денег.

Задача решена, интересно, однако продолжить анализ. Рассмотрим, к какому результату привело бы формальное использование метода Лагранжа для решения нашей задачи. Это поможет нам лучше понять условия применения метода Лагранжа для задачи нахождения максимума полезности при заданном бюджетном ограничении.

Построим функцию Лагранжа для нашей задачи

L=U(X,Y)+(100-2X-Y)=c–[(10-Х)2+(5-Y)2]+(100-2X-Y).

Выпишем условие первого порядка для нахождения максимума функции Лагранжа (приравниваем частные производные первого порядка  к нулю):

 

Заметим, что последнее уравнение заставляет нас искать решение только на линии бюджетного ограничения.

Решая совместно данную систему уравнений, находим:

X*=40; Y*=20; *= –30

(обратите внимание *<0).

Соответствующий уровень полезности составит

U(X*,Y*)=c–5×152=c–1125.

 Ясно, что найденная нами точка не является оптимальной. Само использование метода Лагранжа неправомерно, поскольку функция полезности в нашем случае не является монотонно возрастающей (что в случае стандартных предпочтений обеспечивается аксиомой ненасыщенности) неверно предполагать, что оптимальный набор лежит на линии бюджетного ограничения. В этом случае ограничение должно задаваться в форме неравенства и вместо метода Лагранжа следует использовать теорему Куна-Таккера.

Комментарий: Интересно, что даже если мы введем предположение о том, что потребитель обязан истратить всю отведенную сумму (справедливо ограничение в форме равенства), найденное нами с помощью метода Лагранжа, внутреннее решение снова не будет оптимумом. Дело в том, что кривые безразличия в нашем случае будут вогнуты, а это значит, что проверка условий второго порядка покажет, что вместо максимума мы нашли минимум. В общем случае мы помним, что выполнение условий первого порядка дает лишь точку, подозрительная на экстремум, и требуется проверка условий второго порядка. Оптимальным выбором в этом случае будет угловое решение.

Совет: Сигналом того, что в результате использования метода Лагранжа возникли проблемы может служить отрицательное значение множителя Лагранжа.

 

Задача 5

Функция полезности потребителя равна: U=4X0,5+Y. Цена товара  X  равна единице, цена товара Y в два раза больше. При какой величине дохода потребитель не будет покупать товар Y? Будет покупать ровно одну единицу товара Y?

Ответ:

Условия равновесия потребителя (во внутренней точке) составляют:

В этой задаче предпочтения потребителя описываются квазилинейной функцией. Известно, что MRSXY  для квазилинейной функции полезности зависит только от объема потребления «нелинейного блага». Действительно, получаем

MRSXY=2/ÖX

Отсюда, оптимальный объем потребления товара X*=16.

При этом оптимальная точка должна лежать на бюджетном ограничении

I=РX×Х*+РY×Y*.

Из этого уравнения несложно определить, что потребитель будет приобретать лишь товар Х (X*=16; Y*=0),  если I =16 и товарный набор в одну единицу товара Y (X*=16; Y*=0), если I=18.

 

Задача 6

В чем заключается эквимаржинальный принцип поведения потребителя? Каким образом отражается на поведении потребителя невыполнение эквимаржинального принципа?

Ответ:

Суть эквимаржинального принципа поведения потребителя заключается в том, что в точке оптимума дополнительная денежная единица (дополнительный доход потребителя) приносит потребителю одинаковую полезность, независимо от того, на какой товар она расходуется.

Так как предельная норма замещения двух товаров в потреблении для оптимального потребительского набора равна предельной норме замещения этих двух товаров в обмене, то есть

MRSC AB = MRSE AB

то можно записать выражения для каждой нормы:

MUB/MUA = PB/PA

Откуда получаем

MUB/PB = MUA/PA = ,

где - предельная полезность дохода потребителя.

Таким образом, в состоянии равновесия дополнительная денежная единица приносит потребителю одинаковую полезность, независимо от того, на какой товар потребитель тратит свой доход. Если эквимаржинальный принцип нарушается, например, если

MUB/PB > MUA/PA,

то потребителю выгодно изменить объемы потребления товаров: увеличить потребление товара, который приносит большую полезность в расчете на одну денежную единицу, и сократить потребление товара, который приносит меньшую полезность в расчете на одну денежную единицу; в данном примере, потребителю следует увеличить потребление товара В и сократить потребление товара А. Тогда с ростом объема потребления одного товара его предельная полезность сократится и с уменьшением потребления другого товара его предельная полезность увеличится (в соответствии с законом убывающей предельной полезности) вплоть до восстановления принципа равенства предельных полезностей в расчете на одну денежную единицу (эквимаржинального принципа).

Эквимаржинальный принцип имеет еще одно применение: предельная полезность дохода потребителя -  - есть экономический смысл множителя Лагранжа, используемого при нахождении оптимального потребительского набора.

Более сложные случаи (со множеством товаров) требуют применения условий Куна-Таккера первого порядка. При максимизации функции Лагранжа должны выполняться условия Куна-Таккера для каждого товара Х:

L/X = [U/X - PX]*X = 0

Если выполняется эквимаржинальный принцип:

U/X = PX

то есть если

PX = MUX/ -

цена товара в точке оптимума равна денежной оценке предельной полезности последней покупаемой единице,

то Х>0 -

товар Х покупается потребителем.

Если же

U/X - PX<0

то есть если

PX>MUX/ -

цена товара больше его предельной полезности для потребителя,

то, согласно условию Куна-Таккера, Х=0, данный товар не будет покупаться.

Таким образом, эквимаржинальный принцип определяет, будет ли товар вообще покупаться рациональным потребителем в состоянии оптимума.

Кроме того, условия Куна-Таккера определяют необходимость выполнения бюджетного ограничения потребителя как равенства.

Согласно условиям Куна-Таккера:

(I - PX*X - PY*Y) = 0

Так как >0

поскольку потребитель покупает-таки какой-либо товар, то предельная полезность дохода для него не может быть равной нулю.

Отсюда следует, что

I - PX*X - PY*Y = 0

Бюджетное ограничение должно выполняться как равенство, то есть потребитель в состоянии равновесия полностью расходует свой доход.

 

Задача 7

Что лучше с точки зрения благосостояния количественная (на единицу продукции) или аккордная (паушальная, или денежная) субсидия одинаковой величины? Проиллюстрируйте графически.

Ответ:

Пусть Х — субсидирумый товар, Y — прочие товары (соответственно, РY=1) Введение количественной субсидии s эквивалентно понижению цены товара Х (РX ® РX–s). Ведение количественной субсидии отразится на графике как разворот бюджетного ограничения (I1®I2), пусть в точке А достигается новое равновесие. Тогда (РX–s)×ХA+YA= I

Аккордная субсидия S эквивалентна увеличению дохода потребителя (I ® I+S), а значит на графике отобразиться как параллельный сдвиг бюджетного ограничения (I1®I3). Причем, новое бюджетное ограничение РX×Х+Y=I+S обязательно должно пройти через точку А, поскольку по условию величина субсидии не зависит от механизма: S=s×ХA.

Однако при новом бюджетном ограничении I3 оптимум потребителя будет достигнут в новой точке В, которая будет принадлежать кривой безразличия, расположенной выше. Поэтому в случае аккордной субсидии благосостояние потребителя возрастет в большей степени, чем в случае количественной субсидии. Это происходит за счет того, что в случае количественной субсидии потребитель получает скидку именно на субсидируемый товар, а аккордная субсидия дает ему возможность диверсифицировать потребление: дополнительный доход может быть потрачен не только на данный товар (потребление которого возрастет в меньшей степени, чем при количественной субсидии), но и на другие товары товарного набора. Аккордная субсидия в большей степени расширяет область возможного выбора потребителя.

 

 

Вопросы для повторения:

Что такое бюджетное ограничение и бюджетное множество (дайте графическое и аналитическое представление)?

Каков экономический смысл бюджетного ограничения потребителя? Всегда ли бюджетным ограничением служит лишь уровень дохода или возможны какие либо другие виды ограничений для покупок потребителя? (Подсказка: вспомните о времени, необходимом для поиска товара).

Каковы условия существования и единственности оптимума потребителя? В каких случаях оптимум не будет существовать? В каких случаях у потребителя будет несколько (множество) оптимальных решений о покупке? Насколько реалистичными являются случаи отсутствия и множественности оптимума?

Каким образом меняется поведение потребителя, если предельная норма замещения в потреблении двух товаров для него превышает рыночную норму обмена (предельную норму замещения этих товаров в обмене)?

В каких случаях у потребителя будет угловой/внутренний оптимум?

В каких единицах измеряется рыночная норма обмена (предельная норма замещения в обмене)?

Что такое предельная полезность дохода (денег)? Каков ее экономический и аналитический смысл? Какова роль в анализе поведения потребителя допущения о стабильности предельной полезности дохода?

Как меняется поведение потребителя и/или анализ поведения потребителя, если допущение о стабильности предельной полезности дохода не выполняется?

В чем особенность равновесных состояний потребителя для разных видов предпочтений?

Каким образом государство может оказать воздействие на выбор потребителя?

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

1. При каких значениях налога благосостояние потребителя в условиях количественного значения величины такое же, как и в условиях подоходного показателя? Найти количественное значение налога, используя функцию полезности: U = X1/2Y1/2 при ценах PX = 2 руб. и PY = 4 руб. и доходе потребителя I = 100 руб. Величина подоходного налога составляет t подоходный = 20%.

2. При каком налоге благосостояние потребителя относительно выше: при количественном или стоимостном?

3. Что лучше для потребителя (с точки зрения его благосостояния) денежная или натуральная субсидия?

4. Правительство вводит подоходный налог в размере tm, количественный налог на первый товар из потребительского набора в размере t1; стоимостную субсидию к потреблению второго товара s2. Каков вид (графически и аналитически) нового бюджетного ограничения потребителя? Каким образом изменилось благосостояние потребителя? Рассмотреть разные виды предпочтений.

5. Средняя семья в городе М тратит 30 долл. в месяц на рыбу и хлеб. Ее функция полезности имеет вид: U=2PX2, где Р - количество рыбы в месяц, Х - количество батонов хлеба. Цена рыбы составляет 5 долл., цена батона хлеба 1 долл. Какое количество рыбы и батонов хлеба потребляет средняя семья в городе М? Администрация города решила повысить уровень благосостояния средней семьи, субсидируя потребление рыбы: бедная семья должна теперь платить только половину рыночной цены рыбы. На сколько возрастет ее потребление рыбы? Хлеба? Во сколько обойдется эта программа городской администрации (в расчете на одну семью)? Аналитики советуют администрации города достичь той же цели, предоставляя каждой семье денежную субсидию в виде наличности. Какую сумму денег должна администрация выплатить в этом случае? Какой вариант предпочтительнее с точки зрения семьи? С точки зрения администрации города?

6. Президент фирмы «Солнечные ванны» любит фруктовый коктейль в пропорции один стакан клубничного сока на три стакана апельсинового сока. Упаковка клубничного сока стоит 45 руб., а упаковка апельсинового сока – 30 руб. (в упаковке 1 л сока).

Каков вид карты кривых безразличия для данного потребителя?

Каков оптимальный потребительский набор президента фирмы «Солнечные ванны», если он выделяет на фруктовый коктейль 500 руб. еженедельно?

В августе 1998 г. президент смог выделить только 300 руб. на любимый коктейль. Каким образом изменился его оптимальный набор в этих условиях?

Перед Новым годом, предвидя увеличения спроса на соки, президент решил закупить пять упаковок клубничного и пять упаковок апельсинового сока. Какова полезность данного набора для президента? Целесообразно ли президенту покупать соки в таком объеме? Какие дополнительные факторы можно привести в поддержку поведения президента?

7. Компания мобильной связи «Быстрые ноги» вводит новый тарифный план для владельцев сотовых телефонов. За первые 10 минут разговора взимается плата в размере $0,15 за минуту. Все последующие минуты разговора оплачиваются по более низкому тарифу в размере $0,10 за минуту. Если же разговор превышает один час, то дополнительные минуты оплачиваются на основе тарифа $0,05 в минуту. Известно, что средний владелец сотового телефона расходует на мобильную связь 200 долл. в месяц. Каким образом выглядит линия бюджетного ограничения для среднего потребителя,  который делает выбор между разговорами по сотовому телефону и расходами на прочие товары (считать цену прочих товаров равной $1)? Каким может быть оптимальный выбор потребителя, если его расходы на мобильную связь вырастут до 500 долл.? упадут до 100 долл. в месяц?