2.5. Специальные вопросы выбора потребителя

Основные типы задач с решением:

Задача 1

Вывести косвенную (денежную) функцию полезности для разных видов предпочтений.

Ответ:

Денежная (косвенная) функция полезности характеризует минимальное количество денег, которое при данных ценах товаров необходимо дать потребителю, чтобы он отказался от потребления данного набора. Или другими словами, денежная функция полезности показывает минимальное количество денег, которое необходимо потребителю при данных ценах товаров, чтобы купить товарный набор, приносящий ему такую же совокупную полезность, что и первоначальный набор (X; Y).

Рассмотрим проблему выведения денежной функции полезности в общем виде для N товаров.

Известно, что результатом решения проблемы оптимального выбора потребителя (максимизации полезности потребителя при заданных предпочтениях и бюджетном ограничении) являются функции обычного или некомпенсированного спроса. В общем случае каждая из них является функцией от цен всех доступных потребителю благ и дохода данного индивида:

Если теперь подставить функции обычного спроса в исходную функцию полезности, то получим косвенную функцию полезности V:

Построенная нами функция показывает, как зависит максимум полезности потребителя от цен всех доступных благ и имеющегося  у него дохода.

Действительно, если цены или/и доход изменяются, меняется бюджетное ограничение, а, следовательно, влияет  на уровень полезности, получаемый индивидом. На практике подход с использованием косвенной функции полезности применяется для анализа последствий изменения различных экономических факторов.

Косвенная функция полезности взаимосвязана с другими концепциями и понятиями в теории поведения рационального потребителя. На рисунке 1 представлена схема взаимосвязи прямой и двойственной задач выбора потребителя.

Косвенная функция полезности для предпочтений Кобба-Дугласа

Предпочтения Кобба-Дугласа являются наиболее удобным примером для построения косвенной функции полезности, поскольку они, во-первых, являются стандартными, т.е. удовлетворяющими предпосылкам ордтналистской теории полезности, а во-вторых, удобны с точки зрения проведения расчетов (ограничений для применения математического аппарата практически нет).

 

Пусть нам дана функция полезности для 2-х товаров типа Кобба-Дугласа:

Решим задачу максимизации полезности при заданном доходе и ценах на товары. Данное условие можно записать системой:

 

Для решения воспользуемся методом Лагранжа. Прежде чем строить функцию Лагранжа, проведем монотонное положительное преобразование функции Кобба-Дугласа — логарифмирование, что значительно облегчит расчеты:

 

Функция Лагранжа:

 

Условия первого порядка:

Преобразуем первые два уравнения, выделим c и d.

 

Теперь сложим первые два уравнения и выразим l.

Подставим последнее выражение в уравнения для Х1 и Х2 и таким образом получим искомые функции обычного спроса — оптимальные количества каждого товара при заданных ценах и доходе:

 

Подставляя эти функции в уравнение (1), получаем искомую функцию полезности.

Поскольку мы нашли максимум полезности при рассмотрении предпочтений Кобба-Дугласа в общем случае, то полученную косвенную функцию полезности можно применить при анализе любых предпочтений такого вида.

Косвенная функция полезности для квазилинейных предпочтений.

Карта кривых безразличия для квазилинейных предпочтений задается линиями, каждую из которых можно получить из другой посредством параллельного переноса. Функция полезности в этом случае описывается как

 

Из выражения видно, что полезность набора линейно зависит от объема потребления товара 2. Однако по товару 1 зависимость может быть не линейной, что определяется функцией v(X1). При этом кривые безразличия выглядят следующим образом:

Добавляя некоторую часть второго товара, оставляя при этом количество первого товара неизменным, потребитель переходит на более высокую кривую безразличия, форма которой совпадает с формой предыдущей кривой.

Задача на нахождения максимума подобной функции принимает вид:

Можно попробовать решить данную задачу методом Лагранжа. При этом целевой функцией будет:

 

Получим для неё систему уравнений условия первого порядка.

Её решение даст нам равенство v'(X1)=(P1/ P2). Преобразовав его, мы можем получить обратную функцию спроса для первого блага. Нужно заметить, что в соответствии с полученным результатом приобретаемый объем блага 1 будет зависеть только от отношения цен, но не от дохода. Это подтверждает идею о равенстве эффекта дохода нулю для товара, от которого общая полезность набора зависит не линейно.

Однако данное обстоятельство не дает нам возможности определить косвенную функцию полезности для квазилинейных предпочтений в общем виде, так как мы не можем явно выделить оптимальное количество товара 1 из функции v(X1) или её первой производной. Поэтому мы рассмотрим частный случай , когда предпочтения описываются функцией полезности

Для неё будет с учетом вышесказанного записана следующая система условия первого порядка:

 

Выделим из первого уравнения Х1 и подставим его во второе уравнение.

 

Косвенная функция полезности будет иметь следующий вид

 

Эта формула описывает случай внутреннего равновесия. Теперь рассмотрим случай краевого выбора потребителя, когда значение производной всегда меньше отношения цен. По определению имеем:

 

 

Тогда будет приобретаться только второй товар и косвенная функция полезности будет выражаться как

Необходимо заметить, что квазилинейные предпочтения могут быть линейно зависимы как от одного блага, так и от другого. Формально это обстоятельства не меняет результатов нашего анализа, так как, если соблюдается линейная зависимость по благу Х1, а не по Х2, то нам можно просто поменять местами эти блага в исходных условиях. При этом  в полученной косвенной функции полезности изменятся только индексы: 1 поменяется на 2, и наоборот. Такая формальная "перестановка" благ не должна смущать исследователя.

 

Задача 2

Вывести функцию расходов потребителя в общем виде и для конкрентных видов предпочтений (квазилинейные предпочтения, товары-субституты и комплементарные товары)

Ответ:

Функция расходов потребителя может быть получена подстановкой в целевую функцию двойственной задачи px функций спроса на товары, получаемые в результате решения задачи минимизации расходов потребителя xi* = hi (p,U):

E (p,U) = px*(p,U) = ph

Функция расходов потребителя показывает уровень расходов, минимально необходимый в имеющейся ценовой ситуации для достижения заданного уровня полезности, представляя собой тем самым функцию минимальных значений от параметров (p,U):

E (p,U) = minx {px | U(x) = U}

Свойства функции расходов потребителя E (p,U) заключаются в следующем:

- функция расходов является строго возрастающей по переменной U и неубывающей по переменным pi для любого i;

- функция расходов непрерывна по переменным р и U;

функция расходов линейно-однородна по ценам на товары:

E(tp,U) = tE(p,U);

Для решения задачи минимизации расходов при заданном уровне полезности пользуются методом Лагранжа. Классическим примером использования метода Лагранжа могут служить предпочтения Кобба-Дугласа U(X,Y) = XaYb (при этих предпочтениях решение всегда внутреннее (рис. 3)).

 

                                                Y

 

                                                Y* 

 

                                                                 X*                       X

                                                                  Рис.3

Нужно решить задачу минимизации

E = PXX + PYY

при ограничении

U – XaYb = 0.

Составляем функцию Лагранжа:

L = PXX + PYY – l(U – XaYb).

Перед l стоит знак минус, так как мы минимизируем расходы.

Находим частные производные и приравниваем их к нулю (условие оптимальности первого порядка):

 

= PX + laYbXa-1 = 0

= PY + l bXaYb-1 = 0             

= XaYb – U = 0

  Откуда получаем:

=, X =, Y =

Подставляем поочередно значения X и Y в третье уравнение системы. Получим:

Yb = U  , Ya+b = U ,  Y* =

Xa = U , Xa+b = U ,  X* =

Тогда функция расходов примет вид:

E = PXX* + PYY* = PX + PY =   =

E(PX,PY,U) =

Например, если предпочтения Кобба-Дугласа описываются функцией U(X,Y) = X1/5Y1/5, то функция расходов в этом случае имеет вид:

E(PX, PY, U) = 2 = 2

Рассмотрим другой тип предпочтений – квазилинейные предпочтения

U(X,Y) = n(X) + Y

В данном случае полезность линейна по товару Y.

Решим задачу минимизации

E = PXX + PYY

При ограничении

U – n(X) – Y = 0.

Для нахождения внутреннего решения опять воспользуемся методом Лагранжа:

L = PXX + PYY – l(U – n(X) – Y)

= PX + ln¢(X) = 0

= PY + l  = 0           

= n(X) + Y – U = 0

 Откуда получаем

n¢(X) == ¦(X),

X* == X*(PX, PY)

Выразим Y из третьего уравнения системы:

Y* = U – n(X) = U – n= Y*(U, PX, PY)

Итак, мы получили, что в случае квазилинейных предпочтений (линейных по товару Y) спрос на товар Х зависит от цен на товары Х и Y, но не зависит от уровня полезности, тогда как спрос на товар Y зависит и от цен на товары, и от уровня полезности. В случае квазилинейных предпочтений линейных по товару Х спрос на товар Y будет зависеть от цен на товары Х и Y, но не будет зависеть от уровня полезности, а спрос на товар X будет зависеть и от цен на товары, и от уровня полезности.

 

Функция расходов примет вид:

E=PXX*+PYY* = PX+ PY=PXX*(PX, PY) + PYY*(U, PX, PY)

E(U, PX, PY) = PXX*(PX, PY) + PYY*(U, PX, PY)

Например, если квазилинейные предпочтения описываются функцией U(X,Y) = lnX + Y, то функция расходов примет вид:

E(U, PX, PY) = PX  + PY= PY

Однако, в случае квазилинейных предпочтений может появиться и угловое решение (как и при совершенных субститутах). Это случай, когда индивидуальная норма замещения потребителя меньше рыночной, когда потребитель готов отдать все единицы одного товара (в рассматриваемом случае товара Х) для приобретения другого (в данном случае товара Y).

В этом случае Х = 0, Y = Y*, а  U = n(X) + Y = Y*. Тогда функция расходов примет вид: E(U,PY) = PYY* = PYU. Если бы предпочтения были линейны по товару Х, то по аналогии мы получили бы следующую функцию расходов: E(U,PX) = PXX* = = PXU.

В случае товаров-субститутов U(X, Y) = aX + bY решить задачу минимизации расходов при заданном уровне полезности, применяя метод Лагранжа, не удастся, так как при этих предпочтениях внутреннего решения нет (решение в этом случае может быть только угловым).

Возможны три случая:

1. < или <    

2. > или >    

3. = или =    

 

     

В первом случае потребитель отказывается от потребления товара Y (Y = 0) и переключается на потребление товара Х (Х = Х*), поскольку стоимость товара Х здесь позволяет достичь заданного уровня полезности за меньшую сумму, чем если бы потребитель покупал товар Y. А так как товары заменяют друг друга, то рациональный потребитель выбирает тот, который за меньшую сумму позволяет удовлетворить его потребность.

Тогда полезность будет равна

U = aX + bY = aX*.

 Откуда получаем

X* = .

И функция расходов примет вид:

E(U,PX) = U.

Во втором случае потребитель отказывается от потребления товара X (X = 0) и переключается на потребление товара Y (Y = Y*). Стоимость товара Y в этом случае позволяет достичь заданного уровня полезности за меньшую сумму, чем если бы потребитель покупал товар Х.

Тогда получаем функцию полезности

U = aX + bY = bY*.

Откуда имеем выражение для второго товара

Y* = .

И функция расходов принимает вид:

E(U,PY) = U.

В третьем случае потребителю все равно, какой из товаров покупать Х или Y, так как суммы, которые необходимо потратить и на товар Х, и на товар Y для достижения желаемого (заданного) уровня полезности, одинаковы.

Объединяя все три случая мы получаем следующую функцию расходов для товаров-субститутов:

E(U,PX,PY) = U min

Для товаров-комплементов вида

U(X,Y) = min (aX, bY)

Коэффициенты a и b зависят от предпочтений конкретного индивида. Они информируют нас о том, что индивид, максимизируя при этом свою полезность, предпочитает приобретать блага X и Y в строгой пропорции: b единиц товара Х вместе с а единицами товара Y.

В случае товаров-комплементов метод Лагранжа, как и при товарах-субститутах, не работает, поскольку функция U(X,Y) = min (aX,bY) не дифференцируема.

Однако, можно пойти другим путем. Из условия мы имеем

или

aX = bY.

Зафиксируем уровень полезности U* (рис. 4). Видно, что этот уровень полезности нам обеспечивают а единиц товара Y или b единиц товара Х:

U* = aX* = bY*.

Если мы начнем варьировать полезность (сделаем ее переменной величиной), то получим функции спроса:

Х* = , Y* = .

Подставив эти функции спроса в целевую функцию

(E = PXX + PYY)

получим функцию расходов для товаров-комплементов:

E(U,PX,PY) = PX + PY = U

 

                                                Y

 

                                               Y*                                  U*

 

                                                               X*                      X

                                                                  Рис. 4

 

Итак, мы вывели функции расходов для четырех типов предпочтений: предпочтений Кобба-Дугласа, квазилинейных предпочтений, субститутов и комплементов. Причем каждая из функций расходов имеет свои особенности.

 

Задача 3

Функция спроса потребителя равна U=[XY]1/2. Цена товара Х составляет 10 руб., цена товара Y - 25 руб. Потребитель при этих ценах покупает 5 единиц товара Х и 2 единицы товара Y. На следующей неделе цена товара Х выросла в 4 раза. Найти эквивалентную и компенсирующую вариации дохода.

Ответ:

Экономический смысл эквивалентной вариации дохода заключается в том, что это величина дохода, которой потребитель готов пожертвовать за то, чтобы цены товаров остались неизменными. Эквивалентная вариация представляет собой разницу между первоначальным доходом и доходом, на который потребитель при старых ценах мог бы купить новый (при изменившейся цене товара) набор.

Найдем первоначальный доход потребителя:

М1 = РХ*X + PY*Y = 10*5 + 25*2 = 100

Рост цены первого товара изменяет равновесный набор потребителя. Для нахождения нового равновесия потребителя решим задачу на максимизацию функции полезности потребителя при новом бюджетном ограничении:

М3 = 100 = 40X + 25Y

Откуда получаем новые оптимальные значения для Х и Y:

X2 = 5/4  Y2 = 2.

Найдем доход, соответствующий новой цене товара Х и первоначальным объемам потребления двух товаров:

М2 = 5/4*10 + 2*25 = 67,5

Отсюда эквивалентная вариация дохода равна

ЕV = М3 - М2 = 100-67,5 = 37,5 тыс. руб.

Экономический смысл компенсирующей вариации состоит в том, что это величина, на которую надо компенсировать потребителя при изменении цены товара, чтобы он мог позволить себе покупать первоначальный набор. Компенсирующая вариация - это разница между первоначальным доходом и доходом, при котором потребитель может купить старый товарный набор по новым ценам.

Найдем доход, при котором потребитель может купить старый набор товаров при условии изменения цены товара Х:

М4 = 5*40 + 2*25 = 250

Тогда компенсирующая вариация равна

CV = М3 - М4 = 100 - 250 = (-150).

 

Задача 4

Каким образом на основе кривой спроса потребителя получить функцию полезности для него?

Ответ:

Пусть набор потребителя состоит из двух товаров - товара Х и денег D. Потребитель осуществляет выбор между определенным количеством товара и определенным количеством денег. Так как потребитель готов пожертвовать (заплатить) каким-то количеством денег для получения единицы товара Х, предельная норма замены денег на товар равна:

MRS DT = - dD/dT

В равновесии предельная норма замены двух товаров в обмене равна предельной норме замены в потреблении:

MRS DT = - dD/dT = P(T),

где Р(Т) - цена товара (цена денег принимается равной единице).

Откуда получаем

dD = - dT * P(T)

Поэтому D - общее количество денег, которое потребитель готов заплатить за желаемый товар (совокупный потребительский излишек - площадь под кривой спроса), есть денежная функция полезности данного потребителя, равная

D = 0Te[- P(T)dT] = Um,

где Те - равновесное количество товара, покупаемое потребителем.

Или

D = P(T)T + D0,

где P(T)T - реальное количество денег, которое потребитель платит за желаемый товар в состоянии равновесия;

D0 = D - [P(T)T] - чистый потребительский излишек, выгода потребителя от торговли, или дополнительное количество денег, которое надо дать потребителю, чтобы он сократил потребление желаемого товара до нуля.

 

Задача 5

Каким образом соотносятся величины эквивалентной и компенсирующей вариации и величина изменения потребительского излишка при росте/снижении цены нормального товара? Дать графическую иллюстрацию каждому случаю.

Ответ:

Рассмотрим вначале ситуацию повышения цены нормального товара. Пусть Dm – представляет собой Маршаллианскую функцию спроса (функцию спроса с учетом эффекта дохода). Пусть Р0 – первоначальная цена товара Х. При росте цены товара Х для того, чтобы благосостояние потребителя не изменилась (чтобы он мог купить товарный набор, приносящий ему ту же полезность, что и первоначальный набор), его надо компенсировать, предоставив ему дополнительный денежный доход. Раз товар Х является нормальным по отношению к доходу, то при увеличении дохода потребление товара Х возрастает. Компенсация роста цены товара приводит к тому, что величина компенсированного спроса оказывается больше величины некомпенсированного спроса. Тогда если Х1 – величина спроса потребителя при цене Р1 без учета компенсации, то Х2>Х1 – величина спроса потребителя при цене Р1 с учетом компенсации. Если Х1 – величина спроса, соответствующая Маршаллианской функции спроса, то Х2 – величина спроса, соответствующая Хиксианской функции компенсированного спроса (рис.5).

 

                                  

 

                  РХ

 

                                        

          Р1

                                      

          Р0

         

          Р2

                                                                           

 

       Dh      Dm

                                         Х1     Х2 Х0 Х3 Х4

 

Рис.5

Таким образом при росте цены нормального товара Хиксианская функция спроса расположена над Маршаллианской функцией.

При падении цены товара Х до уровня Р2 величина некомпенсированного спроса возрастает до Х4 (в соответствии с Маршаллианской функцией спроса). Если при этом мы компенсируем потребителя – отбираем у него часть дохода так, чтобы при сокращении цены он смог купить только товарный набор, соответствующий предыдущему уровню полезности, то его компенсируемое потребление сократиться по сравнению с некомпенсированным – до Х3. Величина Х3 будет соответствовать Хиксианской функции компенсированного спроса.

Таким образом, при падении цены нормального твоара Хиксианская функция спроса расположена под Маршаллианской функцией.

Эти выведенные закономерности расположения двух видов спроса необходимы для определения площадей, соответствующих величинам разных варианций дохода.

Изменение потребительского излишка при росте цены товара равна площади под кривой Маршаллианского спроса, ограниченной сверху и снизу величинами цен Р1 и Р0. Величина компенсирующей вариации дохода, по определению, - это площадь под кривой Хиксианского (компенсированного) спроса с теми же ограничениями в виде цен Р1 и Р0.

Посмотрим теперь, каким образом вывести эквивалентную вариацию дохода. Мы знаем, что эквивалентная вариация дохода при росте цены товара  по абсолютному значению равна компенсирующей вариации дохода при падении цены товара на равные величины. При падении цены товара с уровня Р1 до уровня Р0 Хиксианская функция спроса должна будет располагаться под Маршаллианской функцией спроса. Проведем дополнительную функцию спроса из точки Р1 вниз параллельно функции спроса Dh. Этот отрезок и будет представлять собой Хиксианскую функцию спроса при падении цены товара Х. Тогда площадь под этим отрезком, ограниченная ценами Р1 и Р0, и будет представлять собой компенсирующую варианцию дохода при падении цены с Р1 до Р0, или эквивалентную вариацию дохода при росте цены с Р0 до Р1.

На основе графического анализа получаем соотношение абсолютных величин разных измерителей благосостояния потребителя при росте цены товара:

EV < CS < CV

где EV – абсолютная величина эквивалентной вариации дохода;

CS – абсолютная величина изменения потребительского излишка;

CV – абсолютная величина компенсирующей вариации дохода.

Рассуждая аналогичным образом, мы получим, что при падении цены товара Х с Р0 до Р2 соотношение абсолютных величин разных измерителей благосостояния потребителя будет равно:

CV < CS < EV

Отметим, что для малоценных товаров из-за особой реации данного вида товаров на изменение дохода потребителя вследствии его компенсации изменения цены товара функция Хиксианского спроса будет более эластичной, чем функция Маршаллианского спроса. Так что при росте цены товара величина Хиксианского спроса оказывается меньше величины Маршаллианского спроса, а при падении цены товара – больше величины Маршаллианского спроса.  Поэтому соотношение абсолютных величин разных вариаций дохода потребителя также будет другим.

При росте цены малоценного товара: CV < CS < EV и при падении цены малоценного товара: EV < CS < CV.

 

Задача 6

Функция полезности индивида задана в форме:

U = XY

Известно, что первоначально у индивида было 10 единиц товара Х и 20 единиц товара Y. Если рыночная цена товара Х составляет 1 руб. и рыночная цена товара Y равна 1 руб., является ли максимизирующий полезность индивид продавцом или покупателем товара Х? Товара Y?

Ответ:

Совокупный доход, находящийся в распоряжении индивида первоначально, равен стоимости первоначального запаса:

I0 = X0PX0 + Y0PY0 = 10 + 20 = 30 руб.

Индивид не может истратить больше денежных средств, чем он получил бы, продав свой первоначальный запас. Теперь можно найти оптимальный набор потребителя, исходя из полученной суммы бюджета.

Решим задачу максимизации функции полезности при полученном выше бюджетном ограничении:

Max U = XY

XPX + YPY = 30 = Х + Y

Решение находится методом множителей Лагранжа и составляет:

X1* = 15

Y1* = 15

Таким образом, оптимальный набор потребителя при данных ценах должен состоять из 15 единиц первого товара и 15 едниц второго товара. Первоначально у индивида было 10 единиц товара Х. А для максимизации полезности ему нужно 15 единиц товара Х. Следовательно, индивид должен будет купить 5 единиц товара Х. Он выступит в качестве покупателя товара Х. За счет каких же средств индивид купит недостающий объем товара Х7 За счет продажи 5 единиц товара Y. Следовательно, он выступит в качестве продавца товара Y.

Мы можем рассмотреть эту ситуацию по-другому. Введем понятия чистого и валового спроса. Валовой спрос представляет собой то количество каждого товара, которое индивид в конечном итоге потребляет. Валовой спрос на товар Х составит 15 единиц, валовой спрос на товар Y – 15 единиц. Чистый спрос – это разница между валовым спросом и величиной первоначального запаса по каждому товару. Чистый спрос на товар Х составит: 15-10=5 единиц товара. Чистый спрос на товар Y будет равен: 15-20 = (-5) единиц товара. Положительный чистый спрос говорит о том, что индивид выступает в качестве чистого покупателя товара. Отрицательный чистый спрос – или предложение товара – свидетельствует о том, что индивид выступает в качестве чистого продавца товара.

Пусть теперь цена товар Х возрастает до 2 руб. Каким образом изменение поведения индивида можно разложить по эффектам дохода и замещения в случае наличия первоначального запаса?

Ответ:

Найдем вначале влияние изменения цены товара Х на величину оптимального набора индивида.

С новой ценой товара Х изменяется стоимость первоначального набора – величина бюджетного ограничения индивида:

I1 = 10*2 + 20*1 = 40 руб.

При новом бюджетном ограничении оптимальный набор потребителя находится как:

Max U = XY

2X + Y = 40

X2 = 10

Y2 = 20

Оказывается, что при новой цене товара Х первоначальный набор индивида и есть его оптимальный набор. Индивиду нет необходимости что-либо менять. Однако этот второй оптимальный набор отличается от первого оптимального набора. И мы можем найти общий эффект цены:

X = X2 – X1 = -5

Y = Y2 – Y1 = 5

Разложим общий эффект цены на состовляющие компонент.

Эффект замены (возьмем, для определенности, эффект замены по Слуцкому) будет составлять разницу между тем набором, который потребитель приобрел бы, если бы, обладая денежной суммой, достаточной для покупки первого оптимального набора, при новой цене товара Х он стремился бы к максимизации своей функции полезности, и первым оптимальным набором.

Найдем тот набор, который потребитель захотел бы купить, если бы обладал денежной суммой, достаточной для покупки первого оптимального набора:

Max U = XY

X1PX2 + Y1PY = 2*15+15 = 45 = 2X + Y

Откуда найдем данный оптимальный набор (назовем  его третий набор):

X3 = 11,25

Y3 = 22,5

Теперь выразим эффект замены по Слуцкому:

XS = 11,25-15 = -3,75

YS = 22,5 – 15 = 7,5

Рассмотрим эффект дохода. В данном случае мы наблюдаем два эффекта дохода. Один – назовем его «обычный эффект дохода» – показывает изменение в потреблении товаров индивидом, как если бы первоначального набора не существовало бы. Это – разница между оптимальным набором, полученным в результате максимизации функции полезности при величине бюджета, соответствующей первой стоимости первоначального набора (при исходной цене товара Х) и новой цене товара Х, и третьим оптимальным набором. В данном случае игнорируется изменение стоимости первоначального набора.

Найдем оптимальный набор, который выбрал бы индивид, если бы не учитывал изменение стоимости первоначального набора (если бы он обладал не первоначальным набором, а его денежным эквивалентом):

Max U = XY

2X + Y = 30

Этот оптимальминый набор (назовем его четвертый набор) составит:

X4 = 7,5

Y4 = 15

Соответственно, выразим обычный эффект дохода:

XI = 7,5 – 11,25 = -3,75

YI = 15 – 22,5 = -7,5

Но на самом деле потребитель обладает первоначальным набором, стоимость которого изменяется в зависимости от цен товаров! Поэтому мы имеем еще один, дополнительный, эффект дохода – эффект первоначального запаса. Эффект первоначального запаса находится как разница между итоговым оптимальным набором потребителя (набором номер два, полученным с учетом изменения стоимости первоначального набора и новой цены товара Х) и «итоговым» оптимальным набором потребителя, полученным без учета изменения стоимости первоначального набора (набором номер четыре).

XW = X2 – X4 = 10 – 7,5 = 2,5

YW = Y2 – Y4 = 20 – 15 = 5

Проверим, выполняется ли общий эффект цены. Сумма всех трех эффектов разложения должна составлять общий эффект цены.

X = -3,75 – 3,75 + 2,5 = -5 = X2 – X1

Y = 7,5 – 7,5 + 5 = 5 = Y2 – Y1

Для лучшего понимания данных эффектов представим ситуацию графически (рис. 6) – схематично.

 

                              Y

 

                             Y3                          E3

                        Y0=Y2            W=E2

                        Y1=Y4          E4               E1

 

                                               X4 X2 X3 X1                                                 X

Рис.6. Разложение общего эффекта цены по Слуцкому

W – первоначальный набор;

Е1 – первый оптимальный набор (при исходной цене товара Х)

Е2 – итоговый (второй) оптимальный набор (при новой цене товара Х), соответствует первоначальному набору;

Е3 – третий оптимальный набор – с учетом эффекта замены;

Е4 – четвертый оптимальный набор – без учета изменения стоимости первоначального набора.

Вопросы для повторения:

Каков экономический смысл эквивалентной и компенсирующей вариаций дохода? Какова их связь с потребительским излишком?

В каких случаях величина эквивалентной вариации дохода по абсолютному значению превышает величину компенсирующей вариации дохода? Меньше компенсирующей вариации дохода?

Для каких видов предпочтений абсолютная величина разных вариаций дохода равна между собой и равна величине потребительского излишка? Каким образом этот результат можно интерпретировать с экономической точки зрения?

Каким образом находится оптимальный выбор потребителя, если его цель – минимизировать расходы на покупки товарного набора с данным уровнем полезности?

Как связаны между собой проблема максимизации полезности и минимизации расходов? Всегда ли товарный набор, удовлетворяющей решению первой задачи потребительского выбора, будет тем набором, который будет соответствовать минимуму расходов потребителя?

Какова роль проблемы купли-продажи в теории потребительского выбора?

Что такое эффект изменения стоимости первоначального набора? В каких единицах он измеряется? Каков его экономический смысл? Область применения?

Каким образом выглядит функция расходов потребителя для разных видов предпочтений?

 

Задачи и упражнения для самостоятельной работы:

1. Функция полезности Петра Степановича равна U=TS. Когда цена первого товара составляла 5 тыс. руб., а цена второго 4 тыс. руб., Петр Степанович покупал 3 штуки первого товара и 15 штук второго товара. В этом году цена второго товара выросла до 10 тыс. руб., а цена первого товара сократилась до 3 тыс. руб. Какой величиной дохода согласен пожертвовать Петр Степанович, чтобы цены товаров оставались стабильными?

2. Фирма объявляет о повышении цен на свой товар. Постоянным клиентам предлагают купить карточку, которая дает право на приобретение товаров по преждней цене. Чему равна максимальная сумма, которую потребитель согласится заплатить за подобную карточку? Приведите примеры из вашего опыта покупателей фирм, проводящих подобную политику. Насколько успешно, по-вашему, они используют концепции экономической теории?

3. В каких случаях чистый эффект изменения цены превышает размеры компенсирующей вариации, размеры эквивалентной вариации?

4. Функция полезности индивида равна: U=XY. Цена первого товара составляет 1, цена второго товара равна 2. Доход потребителя равен 10. Цена первого товара выросла до 2,5. Чему будут равны эквивалентная и компенсирующая вариации дохода?

5. Для Саши функция полезности товарного набора равна U=X1/2Y1/2. Известно, что его первоначальный набор составляет (Х=2,5; Y=3). Чему равны спрос/предложение каждого товара для Саши при ценах PX=10; PY=25? Чему равен эффект изменения стоимости первоначального запаса при увеличении цены товара Х в два раза?

6. Функция полезности потребителя равна U=4X1/2 + Y. Цена товар Х равна единице, цена товара Y в два раза больше. Известно, что потребитель готов уступить 200 руб. своего дохода, если цена товара Х не будет возрастать. Чему равны эквивалентная и компенсирующая вариации дохода и величина изменения потребительского излишка данного индивида при росте цены товара Х?

7. Покажите, каким образом находятся и каковы величины эквивалентной и компенсирующей вариаций дохода (в соотношении между собой и с величиной изменения потребительского излишка) при росте и падении цены одного из товаров потребительского набора, состоящего из:

(А) взаимодополняемых товаров;

(В) взаимозаменяемых товаров;

(С) товаров с квазилинейной функцией полезности;

(D) строго предпочитаемого товара и нейтрального товара;

(Е) блага и антиблага;

(F) несовместимых товаров.

Покажите графически, каким образом соотносятся величины эквивалентной и компенсирующей вариаций дохода и величина изменения потребительского излишка для малоценного товара, для товара Гиффена.

Марина Витальевна покупает продукты питания только в магазинах «Седьмой контитент». Ее функция полезности равна U=XY, где Х – средних набор продуктов питания, Y – средний набор прочих товаров, которые покупает Марина Витальевна. В неделю Марина Витальевна расходует на покупки 1500 руб.  Цена типичного набора продуктов питания,  покупаемых в магазине “Седьмой контитент”, составляет 100 руб.  На этой неделе “Седьмой контитент” объявил о повышении в среднем всех цен на продукты питания в полтора раза. При этом тем клиентам, которые приобретут дисконтную карточку магазина, “Седьмой контитент” предоставляет скидку на продукты питания в размере предполагаемого повышения цен. Стоимость карточки равна 500 руб. в месяц. Стоит ли Марине Витальевне покупать дисконтную карточку магазина “Седьмой континент”? Какова должна быть максимальная стоимость карточки, чтобы Марина Витальевна (не) приобрела ее? Если Марина Витальевна приобретет карточку, каким образом изменится структура ее покупок?

Может ли потребитель из покупателя товара превратиться в его продавца? Перечислите все условия, когда это возможно.