§41. Единственный набор положительных множителей
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104
Наконец, покажем, что не может быть более одного набора положительных множителей. Пусть R' - возможное значение R, которому соответствуют положительные цены р'a, р'b, ..., р'k и положительные множители q'a, q'b, ..., q'k. Пусть R" - другое возможное значение R, которому соответствуют цены р"a, р"b, ..., p"k и множители q"a , q"b, ..., q"k. Мы должны доказать, что все q" не могут быть положительными.
Подставляя в систему уравнений производства (как они переписаны при w = 0 в §40) R' вместо R и p'a, р'b, ..., р'k вместо pa, рb, ..., рk и, умножая их соответственно на q"a , q"b, ..., q"k, мы получим систему:
q"a ( Aap'a + Bap'b + ... + Kap'k ) ( 1 + R' ) = q"aАp'а
q"b ( Abp'a + Bbp'b + ... + Kbp'k ) ( 1 + R' ) = q"bBp'b
................................................................................
q"k ( Akp'a + Bkp'b + ... + Kkp'k ) ( 1 + R' ) = q"kKp'k.
Просуммировав уравнения, мы имеем:
[q"a ( Aap'a + Bap'b + ... + Kap'k ) + q"b ( Abp'a + Bbp'b + ... + Kbp'k ) + ... + q"k ( Akp'a + Bkp'b + ... + Kkp'k )]( 1 + R' )= q"aАp'а + q"bBp'b + ... + q"kKp'k (1)
Теперь, подставив в q-систему (см. §33) R" вместо R и q"a , q"b, ..., q"k вместо qa , qb, ..., qk и умножив их соответственно на p'a, р'b, ..., р'k мы получим:
p'a( Aaq"a + Abq"b + ... + Akq"k ) ( 1 + R" ) = p'aАq"а
р'b( Baq"a + Bbq"b + ... + Bkq"k ) ( 1 + R" ) = р'bBq"b
................................................................................
р'k( Kaq"a + Kbq"b + ... + Kkq"k ) ( 1 + R" ) = р'kKq"k.
Просуммировав уравнения, мы имеем:
[p'a( Aaq"a + Abq"b + ... + Akq"k ) + р'b( Baq"a + Bbq"b + ... + Bkq"k ) + ... + р'k( Kaq"a + Kbq"b + ... + Kkq"k )]( 1 + R" ) = p'aАq"а + р'bBq"b + ... + р'kKq"k (2)
Слагаемые результирующего уравнения (1) идентичны слагаемым уравнения (2), хотя и сгруппированы другим способом, за исключением того, что R' и R" разные числа. Поэтому чтобы данные равенства выполнялись, обе части обоих уравнений должны быть равны нулю: поскольку все р' положительны, значит, некоторые из q" должны быть отрицательны.
Это доказывает, что, если существует набор положительных значений р, может быть не более, чем один набор положительных значений q [Подобным образом, подставив р" и q' вместо p' и q", можно доказать, что, если существует набор положительных значений q, не может быть более одного набора положительных значений р.].
Мы видели раньше (§37), что всегда существует набор положительных q и (§39), что всегда существует набор положительных р. Поэтому мы можем сделать вывод, что всегда существует одно, и только одно, значение R, которому здесь соответствует набор положительных множителей (q), который трансформирует данную экономическую систему в стандартную систему.