§41. Единственный набор положительных множителей

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 

Наконец, покажем, что не может быть более одного набора положительных множителей. Пусть R' - возможное значение R, которому соответствуют положительные цены р'a, р'b, ..., р'k и положительные множители q'a, q'b, ..., q'k. Пусть R" - другое возможное значение R, которому соответствуют цены р"a, р"b, ..., p"k и множители q"a , q"b, ..., q"k. Мы должны доказать, что все q" не могут быть положительными.

Подставляя в систему уравнений производства (как они переписаны при w = 0 в §40) R' вместо R и p'a, р'b, ..., р'k вместо pa, рb, ..., рk и, умножая их соответственно на q"a , q"b, ..., q"k, мы получим систему:

q"a ( Aap'a + Bap'b + ... + Kap'k ) ( 1 + R' ) = q"aАp'а

q"b ( Abp'a + Bbp'b + ... + Kbp'k ) ( 1 + R' ) = q"bBp'b

................................................................................

q"k ( Akp'a + Bkp'b + ... + Kkp'k ) ( 1 + R' ) = q"kKp'k.

Просуммировав уравнения, мы имеем:

[q"a ( Aap'a + Bap'b + ... + Kap'k ) + q"b ( Abp'a + Bbp'b + ... + Kbp'k ) + ... + q"k ( Akp'a + Bkp'b + ... + Kkp'k )]( 1 + R' )= q"aАp'а + q"bBp'b + ... + q"kKp'k (1)

Теперь, подставив в q-систему (см. §33) R" вместо R и q"a , q"b, ..., q"k вместо qa , qb, ..., qk и умножив их соответственно на p'a, р'b, ..., р'k мы получим:

p'a( Aaq"a + Abq"b + ... + Akq"k ) ( 1 + R" ) = p'aАq"а

р'b( Baq"a + Bbq"b + ... + Bkq"k ) ( 1 + R" ) = р'bBq"b

................................................................................

р'k( Kaq"a + Kbq"b + ... + Kkq"k ) ( 1 + R" ) = р'kKq"k.

Просуммировав уравнения, мы имеем:

[p'a( Aaq"a + Abq"b + ... + Akq"k ) + р'b( Baq"a + Bbq"b + ... + Bkq"k ) + ... + р'k( Kaq"a + Kbq"b + ... + Kkq"k )]( 1 + R" ) = p'aАq"а + р'bBq"b + ... + р'kKq"k (2)

Слагаемые результирующего уравнения (1) идентичны слагаемым уравнения (2), хотя и сгруппированы другим способом, за исключением того, что R' и R" разные числа. Поэтому чтобы данные равенства выполнялись, обе части обоих уравнений должны быть равны нулю: поскольку все р' положительны, значит, некоторые из q" должны быть отрицательны.

Это доказывает, что, если существует набор положительных значений р, может быть не более, чем один набор положительных значений q [Подобным образом, подставив р" и q' вместо p' и q", можно доказать, что, если существует набор положительных значений q, не может быть более одного набора положительных значений р.].

Мы видели раньше (§37), что всегда существует набор положительных q и (§39), что всегда существует набор положительных р. Поэтому мы можем сделать вывод, что всегда существует одно, и только одно, значение R, которому здесь соответствует набор положительных множителей (q), который трансформирует данную экономическую систему в стандартную систему.