Математическое приложение
А. Оптимум потребителя
Выведем оптимум потребителя при покупке им двух благ X и Y (при необходимости число благ можно расширить до сколь угодно большого количества). Тогда наша задача состоит в том, чтобы максимизировать функцию полезности потребителя от этих двух благ – U (X, Y). Однако наш потребитель ограничен своим доходом (бюджетом), который он тратит без остатка на приобретение этих благ. В результате бюджет потребителя можно представить как I = PXX + PYY.
Затем мы решаем задачу на условный локальный максимум (максимум с ограничением) методом множителей Лагранжа. Составляем следующее уравнение
L = U (X, Y) + l(I - PXX - PYY), (3.A.1)
где l - так называемый «множитель Лагранжа». Его экономический смысл станет нам ясен несколько позже. Первое условие максимума с ограничениями получается в результате наождения частных производных первого порядка по X, Y и l из уравнения (3.А.1) и приавнивания их к нулю. Получаем систему уравнений (3.А.2)
(3.А.2)
Последнее уравнение из (3.А.2) говорит нам о том, что доход (бюджет) потребителя расходуется на блага X и Y без остатка. Однако нас больше интересуют первые два уравнения из (3.А.2). Из них следует, что
(3.А.3)
Правые части в (3.А.3) есть ни что иное, как MUX и MUY, то есть предельные полезности благ X и Y . Отсюда получаем сформулированное в основном тексте главы 2 условие оптимума потребителя.
,
(3.А.4)
где l может быть интерпретирована как предельная полезность денежной единицы. Ведь для любого блага n MUn/Pn может трактоваться как темп возрастания полезности по мере увеличения затрат денег на покупку этого блага.
Для того, чтобы найти точки оптимума (или, что тоже самое, спрос на блага X и Y), надо знать функцию полезности. Допустим, U = XY. Тогда по методу Лагранжа получаем
(3.A.5)
Решая систему уравнений (3.А.5) относительно X и Y получаем
,
Пусть, например, доход потребителя равен 100 д.е, PX = 2 д.е, PY = 5 д.е. Тогда X* = 25, Y* = 10. Если предположить, что PX стало равно 5 д.е., а PY снизилось до 4 д.е., то новые значения спроса на эти блага X* = 10, а Y* = 12,5.
Заметим, что в нашем случае функции спроса достаточно простые. Спрос зависят только от цены благ и дохода потребителя. В то же время они позволяют заметить, что
а) каждому значению цены блага и дохода отвечает одно значение спроса;
б) если все цены и доходы меняются в одной и той же пропорции, то спрос на блага не меняется.
Б. Минимизация расходов потребителя: обратная задача
В предыдущем разделе математического приложения ставилась задача максимизировать полезность потребителя при ограниченном доходе. Теперь ставится обратная задача: как минимизировать расходы потребителя при постоянном значении функции полезности.
Эта проблема не является какой-то искусственно созданной математической задачей. Ей можно дать экономическое толкование. Представим данную кривую безразличия и соответствующее ей значение функции полезности как задающие определенный уровень жизни или уровень реального дохода потребителя. Тогда есть смысл спросить: каковы минимальные расходы, позволяющие достичь данный уровня жизни при некоторых фиксированных ценах? Такой подход также позволяет анализировать эффект ценовых изменений на эти расходы.
Теперь мы минимизируем I = PXX + PYY при
ограничении U (X, Y) = 
,
где - опеделенный фиксированный уровень
полезности. Составляем уравнение Лагранжа для этого случая
L = ( PXX + PYY) - m [U
(X, Y) - ]
Тогда имеем
(3.Б.1)
Возьмем первые два уравнения из (3.Б.1). Из них получаем
,
(3.Б.2)
где m - величина обратная предельной полезности денежной единицы, то есть равна 1/l. Если заменить в (3.Б.2) m на 1/l и возвести уравнение в степень - 1, то получим знакомое нам условие оптимума потребителя, совпадающее с (3.А.4).
В. Уравнение Слуцкого
Строгое математическое изложение эффектов замены и эффектов дохода требует использования достаточно сложного математического аппарата. Его применение демонстрируется в учебниках экономики более высокого уровня. Здесь же мы просто представим конечный результат математического анализа этих эффектов – само уравнение Слуцкого.
,
(3.В.1)
где QD – это знакомый нам спрос, вбирающий в себя как эффект
замены, так и эффект дохода (соответствующая ему кривая спроса иногда
называется маршаллианской кривой спроса, по имени одного из основателей
современной экономической теории – английского экономиста Маршалла), 
- так называемый компенсированный спрос (за
вычетом эффекта дохода, и, следовательно, отражающий только эффект замены).
Графически соответствующую ему линию спроса (так называемую хиксианскую кривую
спроса) мы могли бы получить, если бы строили ее не по точкам оптимума на
бюджетных линиях (как это делалось на рис. 3.14), а по точкам оптимума на
вспомогательных бюджетных линиях (подобных линии 
)
на рис. 3.15. X – некое благо, на которое предъявляется спрос.
Из (3.В.1) видно, что спрос на благо
складывается из двух эффектов – эффекта замены 
,
который является наклоном компенсированной кривой спроса, и эффекта дохода 
.
Эффект замены всегда < 0. Это значит, что компенсированная кривая спроса всегда имеет отрицательный наклон, даже если речь идет о товаре Гиффена.
Таким образом все зависит от эффекта дохода. Если 
>
0, то действие эффекта замены усиливается, кривая спроса имеет крутой
отрицательный наклон. Если <
0, то эффект дохода работает против эффекта замены. И здесь все зависит от
соотношения абсолютных величин двух эффектов.
Если эффект замены превосходит эффект дохода по абсолютной величине, то тогда положительный эффект дохода лишь ослабляет действие эффекта замены, кривая спроса имеет по-прежнему отрицательный наклон, хотя и более пологий. Однако если же положительный эффект дохода по абсолютной величине больше отрицательного эффекта замены, то здесь мы сталкиваемя с товаром Гиффена, кривая спроса приобретает положительный наклон.