Математическое приложение

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 

 

А. Отдача от масштаба, путь расширения и технический прогресс.

 

            Отдача от масштаба при анализе производственных функций связывается с таким математическим свойством функции как однородность. Покажем это свойство на примере производственной функции вида Q = AKaLb (где A – параметр, показывающий уровень развития технологии). Функция будет однородной, если мы, умножив K и L на некоторое пложительное число j, получим, что выпуск изменился следующим образом

 

 

            Таким образом ясно, что отдача от масштаба определяется значением суммы степенных коэффициентов a + b. Если эта сумма меньше единицы, то мы имеем дело с убывающей отдачей от масштаба, если равна единице – с постоянной отдачей, больше единицы – возрастающей отдачей. В случае равенства этих коэффициентов единице говорят о линейно однородной функции (или функции однородной в первой степени).

            Характер отдачи от масштаба можно определить с помощью эластичности выпуска по ресурсу. Эластичность выпуска по труду

 

                                      (4.А.1)

 

            Аналогичным образом получаем, что эластичность выпуска по капиталу есть

 

                                               (4.А.2)

 

            Очевидно, что если сумма значений этих эластичностей будет меньше единицы – отдача убывающая, равна единице – постоянная, больше единицы – возрастающая.

Используя (4.А.1) и (4.А.2) попытаемся подсчитать эластичность выпуска по ресурсу для линейно однородной производственной функции Q = AKaL1-a (так называемой функции Кобба-Дугласа).

 

                                                    (4.А.3)

 

                                                    (4.А.4)

 

Сумма эластичностей, как видно, равна 1. Это подтверждает факт постоянной отдачи от масштаба в случае, когда производственная функция представлена линейно однородной функцией.

            Теперь представим путь расширения производства для функции Q = AKaLb. Поскольку этот путь проходит через точки оптимума производителя, то он должен удовлетворять условию оптимума

 

,                                                   

 

что предполагает оптимальную комбинацию ресурсов

 

                                                                              (4.А.5)

 

где j - постоянная, так как степенные коэффициенты и цена ресурсов – постоянны. В результате все точки на пути расширения должны иметь одну и ту же постоянную пропорцию используемых ресурсов. Это означает, что путь расширения есть прямая линия, выходящая из начала координат.

            Если оптимальное соотношение L* и K* больше 1, то производство является трудоинтенсивным, если же меньше, то – капиталоинтенсивным.

            Теперь откажемся от предпосылки о неизменных ценах ресурсов и сохраним предположение о неизменном оптимальном соотношении ресурсов (L*/K*). Если цены ресурсов меняются таким образом, что по мере продвижения по линейному пути расширения за счет улучшения технологии (графически технический прогресс можно представить как сдвиг изоквант вправо, к началу координат при неизменном представляемом ими уровне выпуска) меняется их соотношение, то должна меняться и MRTS.

Предположим, что соотношение PK/PL увеличилось по сравнению с предыдущей точкой оптимума. Это значит, что угол наклона изокванты в новой точке оптимума меняется так, что MPK/MPL тоже увеличивается. Технический прогресс, который сопровождается опережающим ростом MPK по отношению к MPL, называют капиталоинтенсивным (он увеличивает вклад капитала в производство продукции).

Технический прогресс при опережающем росте MPL по отношению к MPK называют трудоинтенсивным.

Если же соотношение предельных продуктов ресурсов не меняется (допустим, они растут одинаковыми темпами), то такой технический прогресс называется нейтральным.

Для иллюстрации представим (4.А.5) для функции Кобба-Дугласа. Получим

 

                                                 (4.А.6)

 

Если L*/K* не меняется, то изменение соотношения цен должно корректироваться изменением соотношения степенных коэффициентов (1 - a)/a.. Для наглядности возьмем выражения для MPL и MPK из (4.А.3) и (4.А.4), слегка преобразовав представление MPK

 

 

 

Обозначим K/L как k. Тогда

 

MPL = Aka(1 - a);               MPK = Aaka - 1                              (4.А.7)

 

Сопоставляя (4.А.7) и (4.А.6) легко можно заметить, что при неизменности L*/K* изменение соотношение степенных коэффициентов равнозначно изменению соотношения MPL и MPK.

           

 

Б. Издержки в длительном периоде

 

            Предположим, что некая фирма желает произвести q единиц продукции. Ее задача найти такую комбинацию ресурсов (в длительном периоде, как мы знаем, все ресурсы переменные), которая минимизирует затраты на выпуск данного количества продукции.

            Пусть производственная функция фирмы представлена в виде Q = K0,5L0,5. Как известно, MRTS = MPK/MPL = PK/PL. Для данной производственной функции

 

 

Отсюда можно значение К

 

K =                                                                    (4.Б.1)

 

Теперь подставим (4.Б.1) в нашу производственную функцию.

 

Q =

 

Решая это уравнение относительно L получаем

 

L =                                               (4.Б.2)

 

Это минимизирующее издержки количество труда. Оно, как видно из (4.Б.2), уменьшается с ростом цены услуг труда и растет с ростом расходов на оплату услуг капитала и объемом выпуска продукции.

            Затем подставляем (4.Б.2) в (4.Б.1)

 

K =                                              (4.Б.3)

 

Это минимизирующее издержки количество капитала. Оно уменьшается с ростом цены услуг капитала и растет с ростом расходов на оплату услуг труда и объемом выпуска продукции.

            Издержки длительного периода – это расходы на оплату услуг комбинации ресурсов, минимизирующих эти расходы. Обозначим их как С(Q) = PKK + PLL. Подставляем (4.Б.2) и (4.Б.3) в это выражение

 

С(Q) = PK() + PL() = 2              (4.Б.4)

 

Заметим, что увеличение цены услуг любого из ресурсов повышает общие издержки. Если продифференцировать (4.Б.4) по PL, то мы получим выражение тождественное (4.Б.2).

 

                                                 (4.Б.5)

 

Поскольку (4.Б.5) очевидно больше нуля, то издержки увеличиваются с ростом оплаты труда.

            Можно также заключить, что производная функции общих издержек по цене ресурса есть минимизирующее издержки (то есть оптимальное) количество данного ресурса.

 

В. Максимизация прибыли

 

            Максимизация прибыли предполагает максимизацию разности между функцией общей выручкой TR = R(Q) и функцией общих издержек TC = C(Q). Представим прибыль как

 

p = p(Q) = R(Q) - C(Q)

 

Первое необходимое условие максимизации прибыли

 

 

Это равносильно равенству MR и МС.

Однако при соблюдении этого условия может быть одно из двух: либо максимальная прибыль, либо максимальный убыток. Второе необходимое условие максимизации прибыли предполагает, что

 

 

Это условие можно интерпретировать так, что прибыль максимизируется там и только там, где равенство MR и МС отвечает меньшим темпам изменения MR по сравнению с темпами изменения MR.