Математическое приложение

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 

 

А. Многозаводская монополия

 

Пусть монополист продает продукцию на единственном рынке, но распределяет ее производство между двумя принадлежащими ему заводами. Он максимизирует прибыль

 

p = p(Q1 + Q2) = R(Q1 + Q2) - C1(Q1) - C2(Q2),            (5.А.1)

 

где Q1 и Q2 – продукция первого и второго завода, а C1(Q1) и C2(Q2) - издержки. Находим частные производные от (5.А.1) и приравниваем их к нулю.

 

 

Отсюда следует, что

 

 МR(Q1 + Q2) = MC1(Q1) = MC2(Q2)                               (5.A.2)

 

(5.A.2) говорит о том, что предельные издержки на каждом из заводов должны быть равны совокупной предельной выручке. Разумеется, что этот вывод может быть распостранен на любое количество заводов.

 

Б. Многопродуктовая монополия

 

Введем функции общей выручки

 

R1 = P1Q1 = R1(Q1, Q2)      R2 = P2Q2 = R2(Q1, Q2)

 

Здесь Ri/Qj (j ¹ i) > 0 для взаимодополняющих товаров и < 0 для товаров-заменителей. Это можно объяснить следующим образом. При наличии взаимодополняющих товаров с увеличением продаж Q2 за счет снижения цены P2 увеличивается Q1 при снижающейся P1. Однако, так как монополист выбирает выпуск относительно эластичного спроса, выручка (R1 = P1Q1) растет. При наличии товаров заменителей с увеличением продаж Q2 за счет снижения P2 вытесняется с рынка некоторое количество Q1 при растущей P1. Однако, так как монополист выбирает выпуск относительно эластичного спроса, выручка (R1 = P1Q1) падает.

            Прибыль монополиста

 

p = R1(Q1, Q2) + R1(Q1, Q2) - C1(Q1) - C2(Q2)             (5.Б.1)

 

Приравниваем частные производные от (5.Б.1) к нулю

 

 

В итоге получаем

 

                                      (5.Б.2)

 

Монополист снова приравнивает предельную выручку к предельным издержкам. Однако при этом он учитывает влияние на выручку от продажи другого товара изменение объема продаж данного товара.

Пусть Q1 и Q2 - товары-заменители. Тогда R2/Q1 < 0 и R1/Q2 < 0. Следовательно, МС каждого из товаров будут меньше, чем MR от каждого из товаров по отдельности.

Предположим, что товарами-заменителями будут минеральная вода (Q1) и квас (Q2). Это означает, что увеличение выпуска минеральной воды, обеспеченное благодаря снижению ее цены, вызывает снижение продаж кваса при растущей его цене. С учетом отрицательной предельной выручки от продаж кваса оптимально установить выпуск минеральной воды на уровне не где MR=MC, а где MR > MC.

Пусть теперь Q1 и Q2 - взаимодополняющие товары. Тогда R2/Q1 > 0 и R1/Q2 > 0. Следовательно, МС каждого из товаров будут больше, чем MR от каждого из товаров по отдельности. Пусть этими товарами будут стулья (Q1) и столы (Q2). Это означает, что увеличение выпуска столов, сопровождающееся снижением их цены вызывает увеличение продаж стульев при снижающейся их цене. Отсюда в производстве столов оптимальный выпуск будет на уровне не где MR=MC, а где MR < MC.

Из условий (5.Б.2) можно найти оптимальную дифференциацию цен между товарами-заменителями и взаимодополняющими товарами. Таким образом, монополист, выпускающий взаимосвязанные товары, вынужден считаться с влиянием рынков этих товаров друг на друга и с учетом этого влияния находить выпуск каждого из них, который максимизировал бы совокупную прибыль от их продаж. При этом этот выпуск и цены будут отличаться от тех, которые имели место в случае выпуска только одного из благ.