Математическое приложение

 

А. Теория игр и экономическое поведение

 

            Теория игр получила такое название, поскольку с помощью ее инструментов можно анализировать поведение людей в карточных играх, шахматах и т.п. Игрой называется ситуация, в которой стратегическое поведение составляет важную часть принятия решений.

            В любой игре присутствуют игроки – те, кто принимают решения. Например, при анализе олигополии – это фирмы в отрасли.

Выбор, который делают игроки, называется стратегией. Ее еще можно определить как план действий игрока в игре. Стратегией олигополиста может быть определение того, как она ответит на обман со стороны конкурента.

Конкретные вещи, которые делаются в соответствии с выбранной стратегией, называются действиями. Действием для олигополиста может быть установление определенной цены.

В конце игры игроки получают выигрыши, зависящие от того, что произошло. Это вознаграждения, получаемые игроками по окончании игры. Например, для олигополистов это – прибыли.

В случае отсутствия сговора (кооперации) игры называются некооперативными. В этом случае принимающие решения действуют исключительно в собственных интересах.

Необходимо найти удобный способ представить правила игры (кто делает ход, когда и что каждый игрок знает, когда наступает его черед ходить). Обычно их представляют через дерево решений.

Для наглядности представим, что у нас есть две фирмы (a и b), каждая из которых делает выбор между высоким и низким объемами выпуска (далее просто «высокий» и «низкий»). a делает выбор первой, а b знает о выборе a прежде, чем сделать свой выбор. В результате b имеет два узла решения (точки, где принимаются решения): один – для случая, если a выбирает «высокий» выпуска, другой – для случая, когда a выбирает «низкий» (рис. А.1).

            Выигрыши для каждого из возможных исходов представлены на концах каждой финальной ветки. Поскольку в игре два игрока, то необходимо указывать два выигрышаа (для a - первая цифра в паре, для b - вторая). Например, когда выпуск a высок, а b - низок, то прибыль a  - 12000 д.е., а прибыль b  - 6000 д.е.

            Пока мы рассмотрели действия, которые могут предпринять фирмы, но не рассмотрели их стратегии. Стратегии конкретизируют действия, которые могут быть предприняты в каждом из узлов решения. Стратегия a очень проста – выбрать высокий или низкий объемы выпуска. Стратегия b значительно сложнее. Поскольку b  знает о выборе a , то b  имеет два узла решения в дереве решений. В результате b выбирает не простые действия («высокий» или «низкий»), а правило решения. Правило решения конкретизирует, какое действие будет предпринято в зависимости от того, что произошло ранее в игре. Одна из возможных стратегий для b сводится к следующему рассуждению: если a выберет «высокий», то тогда я выберу «низкий», а если a выберет «низкий», то я выберу «высокий». Кроме того, имеются еще три другие стратегии:

- «высокий»-«высокий», «низкий»-«низкий»;

- «высокий»-«низкий», «низкий-низкий»;

- «высокий-высокий», «низкий-высокий».

Какую стратегию выберет b? Предположим, a выбрала «низкий». Тогда, выбрав «высокий», b получит прибыль 12000 д.е., а выбрав «низкий» - только 7000 д.е. Теперь допустим, что a выбрала «высокий». Тогда, выбрав «высокий», b получит прибыль 8000 д.е., а выбрав «низкий» - только 6000 д.е. В результате мы убедились в том, что, независимо от выбранной a стратегией, лучший ответ для b - всегда выбирать «высокий».

Стратегия, которая приносит по меньшей мере не худший результат, чем все прочие – называется доминантной стратегией. Нет никакого смысла для игрока выбирать что-либо иное кроме доминантной стратегии, если таковая имеется (надо иметь в виду, что во многих случаях доминантная стратегия отсутствует).

            Что можно сказать о стратегии a? Если a выбирает «низкий», то тогда выигрыш будет 7000 д.е., если b выберет «низкий», и 6000 д.е., если b выберет «высокий». Если a выбирает «высокий», то тогда выигрыш будет 12000 д.е., если b выберет «низкий», и 8000 д.е., если b выберет «высокий». Таким образом, независимо от ответа b, лучший выбор для a - «высокий». Можно сказать, что «высокий» – доминантная стратегия для a.

            В рассмотренной ситуации каждая из фирм имеет доминантную стратегию. Отсюда можно заключить, что когда каждый из игроков имеет доминантную стратегию, то имеет место равновесие доминантной стратегии. Равновесие доминантной стратегии есть исход игры, в которой каждый из игроков следует доминантной стратегии. Для рассмотренного нами случая две стратегии («высокий» дляa и «высокий» для b, независимо от действий a) составляют равновесие доминантной стратегии.

            Равновесие отвечает двум условиям: равновесию по Нэшу и достоверности. Равновесие по Нэшу предполагает, что ни одна из фирм не в состоянии выиграть за счет изменения своих действий в одностороннем порядке – каждая фирма должна давать лучший ответ на то, что делает другая фирма. Более строго, на языке теории игр это можно сформулировать так: равновесная стратегия каждого игрока должна быть лучшим ответом на равновесную стратегию, выбранную другим игроком. Так как доминантная стратегия является лучшим ответом на все, то ясно, что равновесие доминантной стратегии отвечает равновесию по Нэшу.

            Теперь что касается достоверности. Главный вопрос заключается в том, является ли достоверной угроза b ответить высоким выпуском на низкий выпуск a. Если мы посмотрим на рис. А.1, то убедимся, что если a выбирает «низкий», то тогда b получит 12000 д.е. при выборе «высокий» и только 7000 д.е. при выборе «низкий». Таким образом, стратегия b удовлетворяет условию достоверности.

            Таким образом, равновесие доминантной стратегии удовлетворяет как условию Нэша, так и условию достоверности.

            Однако в большинстве игр нет равновесия доминантной стратегии. На рис. А.2 представлена одна из таких игр.

В этой игре доминантная стратегия для b может быть описана как: если a выбирает «высокий», то я выбираю «низкий», если a выбирает «низкий», то я выбираю «высокий». Однако для a доминантной стратегии не существует.

            Допустим, b выбирает доминантную стратегию. Тогда a получит прибыль в 12000 д.е., выбрав «высокий» и 4000 д.е., выбрав «низкий». Лучший ответ a - выбрать «низкий». Теперь предположим, что стратегия b выбирать «высокий» независимо от того, что делает a. В этом случае a получит прибыль в 2000 д.е., выбрав «высокий», и 4000 д.е., выбрав «низкий». Лучший ответ a - выбрать «низкий». Таким образом, лучший ответ a зависит от выбранной b стратегии.

 

            Проблема a заключается в том, что она должна принимать решение первой. А какие действия она ожидает от b? Только что было установлено, что фирма будет выбирать доминантную стратегию, если таковая у нее имеется. Теория игр строится на допущении, что каждый игрок исходит из того, что другие игроки также рациональны. Следовательно, a надо ожидать, что b выберет свою доминантную стратегию. В этом случае a надо выбрать «высокий».

            Рассмотренный пример показывает, почему требуется условие достоверности в дополнение к условию Нэша. Если мы будем исходить только из условия Нэша, то у нас окажутся два претендента на равновесный исход. Один предполагает высокий выпуск a и низкий выпуск b. Этот исход появляется, когда стратегия a выбрать «высокий», а стратегия b заключается в следующем: если a выбирает «высокий», то я выбираю «низкий», а если a выбирает «низкий», то я выбираю «высокий». Другой предполагает низкий выпуск a и высокий выпуск b. Он появляется, когда стратегия a выбрать «низкий», а стратегия b - выбирать «высокий» независимо от действий a.

            Однако второй из «претендентов» на равновесие – неубедителен. Фирма a выбирает «низкий» с тем, чтобы предотвратить в дальнейшем вред для обеих фирм выбором «высокий» со стороны b в ответ на «высокий» со стороны a. Не представляется оправданным принимать всерьез угрозу со стороны b. Ведь угроза является достоверной, только если в интересах фирмы осуществить ее. В тот момент, когда b делает свой ход, ее интересы диктуют ей выбрать «низкий», а не угрожать «высоким». Следовательно, угорза b выбрать «высокий» – недостоверна. Зная это, a игнорирует такую угрозу.

            Таким образом можно заключить, что равновесный исход для a. – выбрать высокий объем выпуска и получить 6000 д.е. прибыли, в то время как b выбирает низкий объем выпуска и получает 2000 д.е. прибыли. Как мы видели, «высокий» – лучший ответ a  на доминантную стратегию b, а доминантная стратегия b, по определению, лучший ответ на стратегию a.. Итак, мы показали, что эта пара стратегий удовлетворяет как условию Нэша, так и условию достоверности. Равновесный исход, удовлетворяющий этим двум условиям, известен как совершенное равновесие.

            Заметим, что любое равновесие доминантной стратегии является совершенным равновесием, но совершенное равновесие может не быть равновесием доминантной стратегии.

            До сих пор мы рассматривали игры, в которых фирмы делают ходы друг за другом, и каждая фирма может видеть предпринятое конкурентом предшествующее действие. Реальная жизнь далеко не всегда столь проста. Когда какая-либо фирма выбирает цену или объем выпуска, она может не знать как поступил или поступает ее конкурент. Игра, в которой игрок должен делать ход, но не в состоянии видеть предшествующий или совершаемый одновременно ход соперника, называется игрой с несовершенной информацией. В этом случае мы сталкиваемся с уже отчасти известной нам дилеммой заключенного.

            Дилемма заключенного есть стратегическая ситуация, в которой каждый из двух игроков имеет доминантную стратегию, но их реализация приводит к исходу, который хуже, чем если бы они кооперировались и реализовали альтернативную стратегию.

            Представим, что a  и b должны делать выбор одновременно. Рис. А.3 показывает такую ситуацию. Овал вокруг узлов решений говорит о том, что b не в состоянии различать эти две точки во время принятия решения. Следовательно, во время принятия решения b не знает, выбрала ли a «высокий» или «низкий». В результате b не может принять такую стратегию как: «низкий», если a выбирает «высокий», и «высокий», если a выбирает «низкий». Стратегия b выбрать либо «низкий», либо «высокий».

 

            Лучшая стратегия для каждой фирмы, независимо от того, что предпримет другая, выбрать «высокий». Другими словами – «высокий» – доминантная стратегия для каждой фирмы. В игре присутствует равновесие доминантной стратегии, при котором каждая фирма выбирает «высокий» и получает прибыль в 6000 д.е.

Заметим, что структура выигрышей в этой игре порождает конфликт между выгодами от кооперации и стремлением конкурировать. При равновесии обе фирмы выбирают «высокий», хотя обе улучшили бы свое положение, выбрав «низкий» – каждая из них получила бы по 10000 д.е. прибыли вместо 6000 д.е. Однако соглашение в отношении выбора «низкий», в отличии от выбора «высокий», не имеет механизма самосохранения. Из дерева решений видно, что нарушитель соглашения о низком уровне выпуска получит 12000 д.е. прибыли, тогда как сторона придерживающаяся этого соглашения – только 2000 д.е.

В заключение приведем формальную запись равновесия по Нэшу. Набор стратегий игрока i обозначается как Si и включает все возможные стратегии. Игрок ограничен в выборе стратегий данным набором. Функция выигрыша i-го игрока показывает выигрыш i-го игрока как функцию стратегий всех игроков. Функция выигрыша i-го игрока обозначается как Vi(×), где Vi(s1, …, sn) есть выигрыш игрока i, в то время как стратегия игрока 1 есть s1, игрока 2 – s2, и так далее вплоть до игрока n, чья стратегия - sn.

Профиль стратегии () есть равновесие по Нэшу если и только если стратегия каждого игрока максимизирует его выигрыш, принимая во внимание стратегии других игроков. В формальной записи

для всех si в Si и для всех i = 1, …, n.

 

Б. Ценовая дискриминация

 

            Ценовая дискриминация первой степени (совершенная ценовая дискриминация).

            Предположим, что фирма-монополист осуществляет данный тип ценовой дискриминации. Пусть у нас обратная кривая спроса выражена как некая функция от количества:

 

p = F(q),

 

где dq/dp < 0.

            В таком случае прибыль монополиста есть разность между его общей выручкой равной площади под кривой спроса и общими издержками

 

p =

 

Находя производную от прибыли по выпуску и приравнивая выражение к нулю получаем

 

 

            Следовательно F(q) = МС. Прибыль максимизируется приравниванием предельной цены предельным издержкам, то есть осуществляющий совершенную ценовую дискриминацию монополист определяет выпуск относительно точки, где кривая МС пересекает кривую спроса.

            Второе условие максимизации прибыли

 

 

предполагает, что наклон кривой МС монополиста больше, чем наклон кривой спроса.

 

            Ценовая дискриминация третьей степени.

            Если монополист осуществляет ценовую дискриминацию на двух различных рынках, то его прибыль есть разность между суммарной выручкой на обоих рынках и его общими издержками

 

p = R1(q1) + R2(q2) - C(q1 + q2),                           (6.Б.1)

 

где q1 и q1 – количества продукции, продаваемые на каждом из двух рынков. R1(q1) и R2(q2) – функции выручки монополиста, а C(q1 + q2) – его функция издержек. Приравнивая частные производные от (6.Б.1) к нулю получаем

 

           

Откуда следует, что MR1 = MR2 = MC. Если предельные выручки не равны, то монополист может увеличить общую выручку без изменения общих издержек просто увеличивая продажи на рынке с высокой MR за счет сокращения продаж на рыке с низкой MR. Из (2.Б.2) следует, что

 

 

или

 

 

            В результате цена будет ниже на рынке с большей эластичностью спроса, и наоборот. Цены будут равны только в случае равенства эластичностей спроса.