Математическое приложение
А. Выбор «доход-досуг»
Поскольку доход индивида как потребителя есть плата за поставку труда, то оптимальное предложение труда (например, часов работы в сутки) может быть выведено из оптимизации индивидом полезности при выборе между доходом и досугом. Потребитель как бы «взвешивает» ценность двух взаимоисключающих благ и пытается найти их оптимальное сочетание. Итак, функция полезности потребителя
,
(7.A.1)
где Z – часы досуга в сутки, I – доход за рабочий день. Предполагается, что различные блага потребитель покупает по постоянным ценам и тогда доход можно интерпретировать как общую покупательную способность.
Предельная норма замещения досуга доходом отсюда можно определить как
Обозначим количество предлагаемых рабочих часов в сутки как L, а часовую ставку зарплаты как w. Тогда
, (7.A.2)
где H – общее число часов в сутках. Бюджетное ограничение в этом случае
I = wL (7.A.3)
Подставляем (7.А.2) и (7.А.3) в (7.А.1)
U = f(H - L, wL) (7.A.4)
В целях максимизации полезности приравниваем производную от (7.A.4) по L к нулю
и следовательно
(7.А.5)
Поскольку предложение труда равносильно спросу на доход, то уравнение (7.А.5) показывает, сколько часов труда в сутки готов предложить индивид при различных ставках зарплаты.
Предположим, что функция полезности индивида, определенная на период времени в одни сутки, есть U = 48Z + ZI – Z2. Тогда
U = 48 (H – L) + (H - L)Lw – (H - L)2
Приравниваем производную к нулю и получаем
Cледовательно, предложение труда
,
а значение I может быть получено подстановку в (7.А.3)
Для данной функции индивидуальная кривая предложения труда имеет следующие характеристики:
Поскольку в сутках 24 часа (H = 24), то при нулевой ставке зарплаты индивид не будет работать вовсе.
Так как dL/dw > 0, то рабочие часы увеличиваются по мере роста ставки зарплаты.
Независимо от того, насколько высока зарплата, индивид не
будет работать больше 12 часов в сутки, так как 
Б. Дисконтирование в непрерывном времени и его применение
Вложение ресурсов, выпуск готовой продукции, а следовательно, затраты (издержки) и выручка могут быть представлены в форме потоков в непрерывном времени. Эти потоки могут быть постоянной величиной в каждый данный промежуток времени (для сравнения представьте себе трубу, через которую проходит, скажем, 1000 м3 воды каждый час) или функцией от времени. Представим себе переменный непрерывный поток выручки (для сравнения можно представить ту же трубу, через которую каждый час проходит различный объем воды). Пусть R = R(t) – поток выручки в мгновенный период t (стоимость, реализованная в бесконечно малый промежуток времени). Разумеется, это абстракция. В реальности есть некий определенный объем выручки, полученный за некий временной отрезок. Приведенная стоимость потока выручки R(t) в период с t = 0 до t = Т, обозначенная здесь как R0T, задана определенным интегралом:
, (7.Б.1)
где е – основание натурального логарифма (е » 2,71828), i – годовая процентная ставка (считается постоянной величиной) и t – некий период времени в годовом исчислении (совсем не обязательно целое число).
Производная по времени от дисконтированной выручки
,
что есть просто приведенная стоимость потока выручки при t=T.
Разовое вложение - разовая отдача. Простейшая инвестиционная проблема, когда время выступает как переменная величина, имеет место, если все затраты ресурсов осуществляются в один момент времени, а весь выпуск продается в другой. Рассмотрим процесс изготовления вина. Представим, что предприниматель купил бочку виноградного сока за I0 д.е. и ждет завершения периода брожения вплоть до превращения сока в вино. Пусть брожение и выдержка ничего не стоят, тогда все издержки представлены упущенными процентными доходами на первоначальные инвестиции. Затем введем допущение, что продажная стоимость вина (стоимость в некий момент времени в будущем) есть функция от продолжительности периода выдержки - R(Т).
Оптимизационная проблема для предпринимателя заключается в выборе продолжительности выдержки, т.е. значения Т, которое максимизирует приведенную стоимость прибыли
Приравниваем производную от p по Т к нулю
Делим данное выражение на e-iT и после перегруппировки получаем
(7.Б.2)
Предприниматель должен, таким образом, приравнять относительную предельную норму отдачи по отношению к времени [R¢(T)/R(T)] к относительной предельной норме издержек по отношению к времени, то есть процентной ставке i.
Условие второго порядка предполагает
Подставляя выражение для i из (7.Б.2) и умножая на eiT/R(T) >0, получаем
(7.Б.3)
что есть производная от [R¢(T)/R(T)]. Относительная предельная норма отдачи должна уменьшаться с течением времени, т.е. ее производная по времени должна быть отрицательной. Если (7.Б.2) и (7.Б.3) действительны для Т=Т0, то у предпринимателя предельная выручка от выдержки вина больше его процентного дохода от вложения R(T) на банковский депозит, если инвестиционный период короче, чем Т0, и, наоборот, больше его процентного дохода, если этот период длиннее, чем Т0.
Влияние изменения процентной ставки на продолжительность выдержки можно установить нахождением полного дифференциала от (7.Б.2)
и в результате
(7.Б.4)
Числитель (7.Б.4) – положителен, а (7.Б.3) вместе с (7.Б.2) определяют отрицательные знания знаменателя. В результате увеличение процентной ставки заставит предпринимателя сократить продолжительность выдержки, а снижение – удлинить ее.
Перманентные вложения – разовая отдача. Теперь обратимся к другой проблеме. Пусть предприниматель сталкивается с потоком затрат (издержек) во времени, но продает весь выпуск в один момент времени. Примером такой ситуации может служить выращивание деревьев. Он покупает саженец в за I0 д.е., несет затраты на культивацию в течение всего периода его роста – G(t) в год и продает дерево за R(T) д.е. в момент времени t = T. Приведенная стоимость прибыли в таком случае
Находим производную от p по Т и приравниваем ее к нулю
Умножая данное выражение на eiT и, после перегруппировки, получаем
Предприниматель продает дерево, когда его относительная предельная норма отдачи по отношению к времени за вычетом затрат на культивацию уравнивается с процентной ставкой. Условие второго порядка предполагает, что относительная предельная нормам отдачи будет уменьшаться с течением времени. В результате, подобно случаю с производством вина, увеличение процентной ставки уменьшит продолжительность производственного периода (срок выращивания дерева), и наоборот.
Разовое вложение – перманентная отдача. Предположим, что разовая инвестиция, например, в оборудование с длительным сроком службы приносит предпринимателю поток доходов в течение времени. Для простоты допустим, что оборудование приносит постоянную выручку каждый год в течение всего срока службы и что затраты на инвестиции в оборудование есть непрерывная функция срока его службы: I0 = I(T), где I¢(T) > 0. Приведенная стоимость прибыли за период службы оборудования
Приравнивая производную от p по Т к нулю, получаем
и
Re-iT = I¢(T) (7.Б.5)
Оптимальный срок службы оборудования имеет место там, где приведенная стоимость от дополнительной выручки, возникающей в связи с продлением срока службы оборудования, уравнивается с предельными затратами на обеспечение этого продления.
Условие второго порядка предполагает
(7.Б.6)
и оно удовлетворяется, когда предельные издержки продления срока службы увеличиваются, т.е. если I¢¢(T) > 0. Находя общий дифференциал от (7.Б.5) и решая для dT/di, получаем
поскольку знаменатель здесь отрицательный в силу (7.Б.6). Отсюда увеличение процентной ставки сокращает срок службы, и наоборот.
В. Внутренняя норма отдачи и инвестиционные решения
Возьмем простейший случай: разовое вложение - разовая отдача. Предположим, что вся выручка во второй момент времени (R2) обусловлена инвестициями в исходный, первый момент времени (I1). В этом случае легко определить среднюю внутреннюю норму отдачи:
Средняя внутренняя норма отдача может быть сопоставлена с с рыночной нормой отдачи, т.е. с процентной ставкой i. Превышение первой над второй говорит, однако, лишь то, что прибыль от инвестиций будет положительной величиной. В то же время условие максимизации прибыли определяется равенством предельной внутренней нормой отдачи (r).
Предприниматель стремится максимизировать приведенную стоимость прибыли, т.е.
Дифференцируя по I1 и приравнивая к нулю, получаем
(7.В.1
Отсюда
и
(7.В.2)
Правая сторона равенства (7.В.2) есть ничто иное, как предельная внутренняя норма отдачи (r). Предприниматель обеспечивает получение максимальной прибыли при достижении этого равенства.
Условие второго порядка требует, чтобы соблюдалось
и если i1 > - 1, то
(7.В.3)
Предельная внутренняя норма отдачи должна быть убывающей.
Представим себе, что (7.В.3) соблюдается, но r > i. В этом случае предельная отдача от заемных средств при использовании их внутри предприятия превышает их издержки в виде неполученного процента. В этом случае предприниматель может увеличить прибыль расширяя инвестиции. Напротив, если r < i, прибыль предпринимателя с каждой д.е. инвестиций на своем предприятии ниже, чем суммы, которые он должен выплатить с каждого заемного доллара внешнему кредитору, и, таким образом, он может увеличить прибыль, сокращая инвестиции и вкладывая высвободившиеся средства на банковский депозит.
Найдем общий дифференциал (7.В.1)
и
(7.В.4)
Если удовлетворяется условие второго порядка, то (7.В.4) – отрицательно: увеличение процентной ставки заставит предпринимателя снизить его инвестиционные расходы.
Человеческий капитал: стоит ли учиться дальше? Проиллюстрируем использование внутренней нормы отдачи при принятии решения инвестировать в продолжение образования после окончания средней школы. Гипотетический пример представлен на рис. В1. В момент окончания школы t = 0. Поток доходов заканчивается с выходом на пенсию при t = Т. Если индивид идет работать, то его поток доходов представлен функцией g(t), если продолжает учебу в университете– то f(t). В некий момент f доход выпускника университета выравнивается с доходом в случае выбора работы после средней школы (доход – Yt откладывается по вертикальной оси). Учеба в университете предполагает не только прямые издержки (плата за учебники и за обучение в случае платного учебного заведения), но и издержки в виде упущенных (незаработанных) за время учебы доходов. Таким образом, разность в доходах, представленная как
в то время как разность
есть отдача от вложений в образование.
Предельная норма отдача на инвестиции в университетское образование (r) должна выравнивать приведенные стоимости его издержек и его доходов
Это уравнение может быть решено относительно его единственной переменной – r. Решение принимается через сравнение r с рыночной процентной ставкой (i). Если r > i, то обучение в университете – оправданная инвестиция, если наоборот. то – нет.
Рассмотрим небольшой условный пример. Пусть Т = 50, f(t) = 800е0,12t, а g(t) = 2400е0,08t. Здесь f = 27,5, а приведенный выше интеграл
который имеет решение r» 0,088. Отсюда можно сделать вывод, что обучение в университете оправдано, если процентная ставка ниже 8,8%.