Математическое приложение
А. Парето-эффективность в потреблении
Пусть у нас имеются два потребителя (А и В) и
два блага (X и Y). Функции полезности потребителей UA = (XA, YA) и UВ = (XВ,
YВ). Они потребляют все количество благ X и Y без остатка. Тогда X= XA + XВ, а
Y = YA + YВ. Предположим, что уровень полезности потребителя В – постоянен.
Следовательно, UВ = 
=
const. Теперь для нахождения условий Парето-эффективности необходимо
максимизировать полезность индивида А при сформулированных ограничениях.
Составляем функцию Лагранжа
L = UA(XA, YA) + l[UВ(X -
XA, Y - YA) -]
Приравниваем частные производные к нулю
Откуда следует, что
(8.А.1)
Это равносильно знакомому нам выражению
Следовательно, правая часть уравнения (8.А.1) есть 
а
левая – MRSB. Отсюда вытекает и условие парето-эффективности в потреблении: 
MRSB.
Б. Парето-эффективность в производстве
Пусть имеются два блага (X и Y), выпуск которых
в зависимости от использования капитала и труда представлен в виде следующих
производственных функций: X= fx(KX, LX) и Y = fy(KY, LY). При этом свободных
ресурсов не остается, т.е. KX + KY = K и LX + LY = L. Предположим, что выпуск Y
– постоянен. Следовательно, Y = 
=
const. Теперь для нахождения условий Парето-эффективности необходимо
максимизировать выпуск А при сформулированных ограничениях. Составляем функцию
Лагранжа
Z = fx(KX, LX) + l[fy(K -
KX, L - LX) -]
Приравниваем частные производные к нулю
Откуда следует, что
(8.Б.1)
Это равносильно знакомому нам выражению
Следовательно, правая часть уравнения (8.Б.1) есть 
а
левая – MRTSY. Отсюда вытекает и условие Парето-эффективности в производстве: 
MRTSY.
В. Внешние эффекты
Предположим, что имеются две фирмы со следующими функциями издержек: С1 = С1(q1,q2) и С2 = С2(q1,q2). Эти функции показывают наличие внешних эффектов (выпуск фирмы 1 - q1, входит в функцию издержек фирмы 2 и, наоборот, выпуск фирмы 2 - q2, входит в функцию издержек фирмы 1). Если каждая фирма по отдельности максимизирует прибыль, то цена будет равна предельным издержкам
P = 
P
= 
Благосостояние общества от выпуска обеих фирм измеряется как разность между созданными общественными выгодами и понесенными общественными издержками. Общественные выгоды, получаемые от выпуска q1 + q2 могут быть представлены как общая выручка, - р(q1+ q2), т.е. количества, которое потребители готовы заплатить за этот выпуск. Общественные издержки измеряются как сумма затрат фирм на производство данного выпуска, т.е. С1(q1,q2) + С2(q1,q2). Для достижения парето-эффективности необходимо максимизировать общую прибыль фирм
p = p1 + p2 = p(q1 + q2) - С1(q1,q2) - С2(q1,q2)
Приравниваем частные производные к нулю
(8.В.1)
Частные производные ¶С1/¶q1 и ¶С2/¶q2 – частные предельные издержки (MC), так как они измеряют прирост затрат отдельной фирмы на единицу продукции. Суммы ¶С1/¶q1 + ¶С2/¶q1 и ¶С1/¶q1 + ¶С2/¶q1 есть общественные предельные издержки (SMC), поскольку они измеряют прирост затрат общества на единицу выпуска отдельной фирмы. Парето-эффективность требует, чтобы цена равнялась общественным предельным издержкам каждой фирмы. Это равенство гарантирует, что SMRS будет равна не MRT отдельной фирмы, но SMRT.
Предположим, что фирма 1 получает внешние выгоды, а фирмы 1 – внешние издержки. Тогда ¶С1/¶q1 < 0, а ¶С2/¶q2 > 0. В результате ¶С1/¶q1 + ¶С2/¶q1 из (8.В.1) может быть равным цене только если ¶С1/¶q1 меньше, чем при максимизации прибыли фирмой 1 в отдельности. При возрастающих MC это означает, что фирма, являющаяся причиной внешних издержек, должна производить меньший объем продукции по сравнению с прежним, если мы стремимся максимизировать общественное благо-состояние. И, наоборот, фирма, являющаяся источником внешних выгод, должна увеличить выпуск. Это изменение выпуска может быть достигнуто через оптимальное налогообложение и субсидирование.
Если на единицу выпуска фирмы 1 (источника внешних потерь для фирмы 2) установить налог t* = ¶С2/¶q1 = MEC (внешним предельным издержкам), а на единицу выпуска фирмы 2 (источника внешних выгод для фирмы 1) – субсидию s* = ¶С1/¶q2 = MEB (внешним предельным выгодам).