2.11. Метод дифференцирования
Из математического анализа известно, что прирост функции
у = у(х1, х2 ……. хn)
при переходе из точки А (х01, х02 ……. х0n) в точку В (х11, х12 ……. х1n) определя-
ется как
)у = d+Е,
где dу – дифференциал функции в точке А, έ – ошибка разложения.
Если точки А и В близки, έ является очень малой величиной, значением ко-
торой можно пренебречь. Тогда можно записать: )у ≈ dy.
Дифференциал – главная линейная часть приращения функции относи-
тельно приращения аргумента, определяется как:
dy = (dy / dх1))х1 + (dy/dх2))х2 + …+ (dy/ dхn))хn = Σ (dy/ dхj))хj =Σy0i)хi,
где у’0i= dy / dхj – частная производная функции у по переменной хi, вы-
численная в точке А, то есть при х1 = х01, х2 = х02, …, хn = х0n.)хi – приращение переменной хi при переходе функции из точки А в точку В:
)х1 = х11 – х01, )х2 = х12 – х02, ……., )хn = х1n – х0n.
Итак, если )хj →0 (то есть В→А), то έ→0 и )у ≈ dy или )у ≈ Σdyi.
Влияние изменения фактора хj на изменение показателя у определяется ве-
личиной:
)у ≈ dyi = у’0i )хi.
Алгоритм применения метода дифференцирования выглядит следующим
образом:
1. определяется вид функции, устанавливающей связь показателя и факторов –
аргументов
у = у(х1, х2 ……. хn);
2. находятся частные производные этой функции по каждому из факторов-
аргументов
у’i = dy/dxi;
3 рассчитываются значения у’0i частных производных при базисном уровне
факторов-аргументов x1 = x01, x2 = x02,….,xn = x0n;
4. рассчитываются приращения факторов – аргументов при замене их базисных
значений новыми: Bx1 = x11–x01, Bx2 = x12 – x02, ….., Bxn = x1n – x0n;
5. определяется влияние изменения каждого из факторов – аргументов xi на из-
менение показателя y. Это влияние характеризуется величиной
dyi = у’01)xi;
6. определяется совместное влияние изменения всех факторов-аргументов на
изменение показателя: By ≈ Σdyi.
Например: определить методом дифференцирования влияние изменения
физического объема продукции и отпускной цены на изменение выручки от
реализации Врп по данным предыдущего примера.
Решение.
1. Функция, устанавливающая связь выручки, физического объема и цены,
имеет вид
Врп= Цּ М.
2. Частные производные этой функции:
– по фактору-аргументу Ц : В’ц = dВ/dЦ = d(Ц М) / dЦ=М;
– по фактору-аргументу М : В’м = dВ/dМ – d(Ц М) / dМ=Ц.
3.Значения частных производных при базисном уровне факторов-аргументов:
В’0ц = М0=12; В’0м=Ц0=2 400.
4.Приращения факторов-аргументов:
)М = М1 – М0 = 11 – 12 = –1;
)Ц = Ц1 – Ц0 = 2 500 – 2 400 = 100.
5.Влияние изменения факторов-аргументов на изменение выручки:
– цена: )Вц ≈ 12 100 = 1 200 (тыс. руб.);
– физический объем: )Вм ≈ 2 400 (–1) = –2 400 (тыс. руб.)
– совместное влияние изменения факторов–аргументов:
)ВРП = )Вц + )Вм = 1200 – 2400 = – 1200 (тыс. руб.)
Вывод: общее изменение выручки )ВРП = –1 200 тыс. руб. произошло за
счет изменения цены на сумму )Вц = + 1 200 тыс. руб. и за счет изменения
объема на сумму )Вц = –2 400 тыс. руб.
Напомним: равенство )у ≈ Σ dyi является приближенным.
Если в рассмотренном примере определить прирост показателя ВРП точно,
то получим:
ВРП= Ц1М1 – Ц0М0 = 11 2 500 – 12 2 400 = 27 500 – 28 800 = – 1 300 тыс. руб.
Видно, что при использовании метода дифференцирования произошла
ошибка, величина которой равна:
έ = (–1 300) – (–1 200) = –100 тыс. руб.
В экономических расчетах, где изменение факторов )хi может быть суще-
ственным, значение ошибки становится большим. Поэтому ее нужно прини-
мать во внимание. При этом возникают два вопроса:
а) как рассчитать величину этой ошибки?
б) как распределить ее между отдельными факторами?
Расчет величины ошибки достаточно прост:
έ = Bу – dу,
где Bу = (х11, х12, …,х1n) – (х01, х02, …, х0n), а значение dу рассчитывается
методом, приведенным выше.
Задача распределения величины ошибки («неразложимого остатка») между
отдельными факторами решается с применением различных методов, наиболее
простые и часто применяемые из них – метод простого прибавления «неразло-
жимого остатка» и метод деления «неразложимого остатка».